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学习目标:(1)使学生通过学习,掌握《矩形中的折叠问题》的解题规律;(2)通过操作、观察、试验、猜想、類比等方法,解决问题,进一步提高综合解决问题的能力;(3)通过学习,学会如何把问题归类,形成发现解题规律的能力;(4)通过综合应用数学知识解决折叠问题,体会知识间的联系,感受数学学习的乐趣.
学习重点:分析折叠过程中的数量关系、图形位置关系。
学习难点;综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.
教、学具准备:教具:电子白板、多媒体课件等工具辅助教学;学具:每位学生一张矩形纸片。
教学过程:
一、活动引入 揭示课题
(一)忆一忆。经过本章学习,你认识了哪些特殊的四边形?出示一张矩形的纸片,这是什么图形?对照图形,说说矩形的有什么性质。设计意图:引导学生有条理回顾概念及相关性质,为后面研究学习做准备。
(二)折一折。活动规则:把手中的矩形纸片折叠一次。你能想一想相同的矩形纸片,都折叠了一次,为什么折叠成了不同的图形?(折痕)请你再试折几次,从几何学习的角度,你对折叠后的哪种图形最感兴趣?(图略)
二、自主学习 合作交流
在学生有了图形的动态变化直观感知后,通过对矩形不同位置的折叠产生的三种基本图形的研究,知晓折叠问题因为有了“折”就有了“形”——轴对称图形、全等形;有了“折”就有了“数”——线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁,数形结合是解决这类问题的突破口。三个问题的研究采用了“独立思考”、“小组讨论”、“合作探索”、“学生讲解”的方式,通过“找一找”、“猜一猜”、“练一练”、 “证一证” 、“理一理”等师生活动,鼓动学生主动观察、实验、猜测、验证、推理和交流,形成有效的建构性学习。
(三)找一找。问题1:如图,矩形纸片ABCD. 若P是边AB上一点,沿折痕PD折叠,使点A落在BC上的E处. (图略)请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。对学生进行知识、方法、能力梳理,引导学生自己去发现问题,解决问题,从而形成能力。
(四)理一理:在找图中相等的线段和相等的角时,你关注了哪些方面的知识?设计意图:矩形折叠中会产生很多相等的线段和相等的角,难免同学们考虑不周全,这样理一理,引导学生思考问题的有序性。分析图中相等的线段和角我们要关注折叠产生的轴对称性质,又不忘背景图形——矩形的性质,还要考虑由折叠引起的新的数量关系。
(五)练一练:若AB=6cm,BC=10cm,你能求出哪些线段的长?学生通过多种方法经历解决折叠问题中具有代表性的问题,来构建自己的知识结构,培养探究能力、合作能力。再次整理思路,总结规律。
(六)猜一猜。
问题2:如图,矩形纸片ABCD.沿折痕BD折叠, 使点A落在BC上的E处,BE与AD交于M点.①你能猜出重叠部分△MBD是什么形状,说明理由。让学生经历几何研究的“观察——猜想——证明”的过程,引导学生认识相同矩形纸片不同位置的折叠,会产生不同的数量关系,这是在几何学习中要用心体会的,此时图中隐含着一个重要的基本几何图形, 即角平分线和平行线结合在了一起,这时会出现等腰三角形,这对于我们解题有很大帮助.若AB=6cm,BC=8cm,求重合部分△MBD的面积。(图略)用前面研究学习的方法,自己独立思考,尝试解决问题,给学生创造体验成功的机会。通过新位置新问题中寻找新的数量关系,以此培养学生的观察能力和归纳能力,使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.结合规范解题过程,对所学知识形成技能。
三、合作交流 探究规律
(七)证一证
问题3:如图,矩形纸片ABCD,若AB=6cm,BC=10cm,.当点P是边BC上一点,Q是AD上一点,沿折痕PQ折叠, 使点A落在BC上的E处. 连接AP,EQ.观察并思考:证明四边形APEQ是菱形.当点E与点C重合时,求出折痕PQ的长.(图略)问题3的设置,既是前面知识与方法的运用,又可以是新问题中寻找新的数量关系的探究,解法很多,是学生展示自我的很好平台,通过一题多解,开阔学生思路,训练思维的发散性、灵活性,充分体现由未知转化为已知的数学思想。从知识,方法上引导学生发现此时的折叠,除了前面问题1,问题2中线段和角的对应相等,还应抓住图中隐藏着PQ垂直平分AE,这是折叠的又一重要性质。
四、课堂小结 感悟反思
对照下面几个问题谈谈你的想法:(1)这节课学到了什么?(2)本节课的问题解决主要采用了什么方法?(3)还有那些疑问?由此我们可以总结矩形中的折叠问题的解题常规思路:首先,我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手,找出相等的线段、角,直角三角形等,这些是我们解决问题的基本条件;其次,根据这些基本条件,再结合我们在几何中已有的知识经验,挖掘常见的基本图形,从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形,这些是解决问题的关键;再有,在特殊图形中运用方程思想,借助勾股定理,是计算边长的常用的数学思想方法.
设计意图:学生通过通过对矩形折叠问题产生的三种基本图形的合作探究,解决折叠问题中具有代表性的问题,学会如何把问题归类,形成发现规律的能力,进一步提高学生综合解决数学问题的能力。
五、能力延伸 运用提高
问题4:如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
(1)△MNK的面积能否小于 ?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由;(2)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值。(图略)
学习重点:分析折叠过程中的数量关系、图形位置关系。
学习难点;综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.
教、学具准备:教具:电子白板、多媒体课件等工具辅助教学;学具:每位学生一张矩形纸片。
教学过程:
一、活动引入 揭示课题
(一)忆一忆。经过本章学习,你认识了哪些特殊的四边形?出示一张矩形的纸片,这是什么图形?对照图形,说说矩形的有什么性质。设计意图:引导学生有条理回顾概念及相关性质,为后面研究学习做准备。
(二)折一折。活动规则:把手中的矩形纸片折叠一次。你能想一想相同的矩形纸片,都折叠了一次,为什么折叠成了不同的图形?(折痕)请你再试折几次,从几何学习的角度,你对折叠后的哪种图形最感兴趣?(图略)
二、自主学习 合作交流
在学生有了图形的动态变化直观感知后,通过对矩形不同位置的折叠产生的三种基本图形的研究,知晓折叠问题因为有了“折”就有了“形”——轴对称图形、全等形;有了“折”就有了“数”——线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁,数形结合是解决这类问题的突破口。三个问题的研究采用了“独立思考”、“小组讨论”、“合作探索”、“学生讲解”的方式,通过“找一找”、“猜一猜”、“练一练”、 “证一证” 、“理一理”等师生活动,鼓动学生主动观察、实验、猜测、验证、推理和交流,形成有效的建构性学习。
(三)找一找。问题1:如图,矩形纸片ABCD. 若P是边AB上一点,沿折痕PD折叠,使点A落在BC上的E处. (图略)请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。对学生进行知识、方法、能力梳理,引导学生自己去发现问题,解决问题,从而形成能力。
(四)理一理:在找图中相等的线段和相等的角时,你关注了哪些方面的知识?设计意图:矩形折叠中会产生很多相等的线段和相等的角,难免同学们考虑不周全,这样理一理,引导学生思考问题的有序性。分析图中相等的线段和角我们要关注折叠产生的轴对称性质,又不忘背景图形——矩形的性质,还要考虑由折叠引起的新的数量关系。
(五)练一练:若AB=6cm,BC=10cm,你能求出哪些线段的长?学生通过多种方法经历解决折叠问题中具有代表性的问题,来构建自己的知识结构,培养探究能力、合作能力。再次整理思路,总结规律。
(六)猜一猜。
问题2:如图,矩形纸片ABCD.沿折痕BD折叠, 使点A落在BC上的E处,BE与AD交于M点.①你能猜出重叠部分△MBD是什么形状,说明理由。让学生经历几何研究的“观察——猜想——证明”的过程,引导学生认识相同矩形纸片不同位置的折叠,会产生不同的数量关系,这是在几何学习中要用心体会的,此时图中隐含着一个重要的基本几何图形, 即角平分线和平行线结合在了一起,这时会出现等腰三角形,这对于我们解题有很大帮助.若AB=6cm,BC=8cm,求重合部分△MBD的面积。(图略)用前面研究学习的方法,自己独立思考,尝试解决问题,给学生创造体验成功的机会。通过新位置新问题中寻找新的数量关系,以此培养学生的观察能力和归纳能力,使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.结合规范解题过程,对所学知识形成技能。
三、合作交流 探究规律
(七)证一证
问题3:如图,矩形纸片ABCD,若AB=6cm,BC=10cm,.当点P是边BC上一点,Q是AD上一点,沿折痕PQ折叠, 使点A落在BC上的E处. 连接AP,EQ.观察并思考:证明四边形APEQ是菱形.当点E与点C重合时,求出折痕PQ的长.(图略)问题3的设置,既是前面知识与方法的运用,又可以是新问题中寻找新的数量关系的探究,解法很多,是学生展示自我的很好平台,通过一题多解,开阔学生思路,训练思维的发散性、灵活性,充分体现由未知转化为已知的数学思想。从知识,方法上引导学生发现此时的折叠,除了前面问题1,问题2中线段和角的对应相等,还应抓住图中隐藏着PQ垂直平分AE,这是折叠的又一重要性质。
四、课堂小结 感悟反思
对照下面几个问题谈谈你的想法:(1)这节课学到了什么?(2)本节课的问题解决主要采用了什么方法?(3)还有那些疑问?由此我们可以总结矩形中的折叠问题的解题常规思路:首先,我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手,找出相等的线段、角,直角三角形等,这些是我们解决问题的基本条件;其次,根据这些基本条件,再结合我们在几何中已有的知识经验,挖掘常见的基本图形,从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形,这些是解决问题的关键;再有,在特殊图形中运用方程思想,借助勾股定理,是计算边长的常用的数学思想方法.
设计意图:学生通过通过对矩形折叠问题产生的三种基本图形的合作探究,解决折叠问题中具有代表性的问题,学会如何把问题归类,形成发现规律的能力,进一步提高学生综合解决数学问题的能力。
五、能力延伸 运用提高
问题4:如图,ABCD是一张矩形纸片,AD=BC=1,AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M,在CD上取一点N,将纸片沿MN折叠,使MB与DN交于点K,得到△MNK.
(1)△MNK的面积能否小于 ?若能,求出此时∠1的度数;若不能,试说明理由;(2)如何折叠能够使△MNK的面积最大?请你用备用图探究可能出现的情况,求最大值。(图略)