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学习目标：（1）使学生通过学习，掌握《矩形中的折叠问题》的解题规律；（2）通过操作、观察、试验、猜想、類比等方法，解决问题，进一步提高综合解决问题的能力；（3）通过学习，学会如何把问题归类，形成发现解题规律的能力；（4）通过综合应用数学知识解决折叠问题，体会知识间的联系，感受数学学习的乐趣.
学习重点：分析折叠过程中的数量关系、图形位置关系。
学习难点；综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.
教、学具准备：教具：电子白板、多媒体课件等工具辅助教学；学具：每位学生一张矩形纸片。
教学过程：
一、活动引入 揭示课题
（一）忆一忆。经过本章学习，你认识了哪些特殊的四边形？出示一张矩形的纸片，这是什么图形？对照图形，说说矩形的有什么性质。设计意图：引导学生有条理回顾概念及相关性质，为后面研究学习做准备。
（二）折一折。活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。你能想一想相同的矩形纸片，都折叠了一次，为什么折叠成了不同的图形？（折痕）请你再试折几次，从几何学习的角度，你对折叠后的哪种图形最感兴趣？（图略）
二、自主学习 合作交流
在学生有了图形的动态变化直观感知后，通过对矩形不同位置的折叠产生的三种基本图形的研究，知晓折叠问题因为有了“折”就有了“形”——轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”——线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁，数形结合是解决这类问题的突破口。三个问题的研究采用了“独立思考”、“小组讨论”、“合作探索”、“学生讲解”的方式，通过“找一找”、“猜一猜”、“练一练”、 “证一证” 、“理一理”等师生活动，鼓动学生主动观察、实验、猜测、验证、推理和交流，形成有效的建构性学习。
（三）找一找。问题1：如图，矩形纸片ABCD. 若P是边AB上一点，沿折痕PD折叠，使点A落在BC上的E处. （图略）请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。对学生进行知识、方法、能力梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。
（四）理一理：在找图中相等的线段和相等的角时，你关注了哪些方面的知识？设计意图：矩形折叠中会产生很多相等的线段和相等的角，难免同学们考虑不周全，这样理一理，引导学生思考问题的有序性。分析图中相等的线段和角我们要关注折叠产生的轴对称性质，又不忘背景图形——矩形的性质，还要考虑由折叠引起的新的数量关系。
（五）练一练：若AB=6cm，BC=10cm，你能求出哪些线段的长？学生通过多种方法经历解决折叠问题中具有代表性的问题，来构建自己的知识结构，培养探究能力、合作能力。再次整理思路，总结规律。
（六）猜一猜。
问题2：如图，矩形纸片ABCD.沿折痕BD折叠， 使点A落在BC上的E处，BE与AD交于M点.①你能猜出重叠部分△MBD是什么形状，说明理由。让学生经历几何研究的“观察——猜想——证明”的过程，引导学生认识相同矩形纸片不同位置的折叠，会产生不同的数量关系，这是在几何学习中要用心体会的，此时图中隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.若AB=6cm，BC=8cm，求重合部分△MBD的面积。（图略）用前面研究学习的方法，自己独立思考，尝试解决问题，给学生创造体验成功的机会。通过新位置新问题中寻找新的数量关系，以此培养学生的观察能力和归纳能力，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.结合规范解题过程，对所学知识形成技能。
三、合作交流 探究规律
（七）证一证
问题3：如图，矩形纸片ABCD，若AB=6cm，BC=10cm，.当点P是边BC上一点，Q是AD上一点，沿折痕PQ折叠， 使点A落在BC上的E处. 连接AP，EQ.观察并思考：证明四边形APEQ是菱形.当点E与点C重合时，求出折痕PQ的长.（图略）问题3的设置，既是前面知识与方法的运用，又可以是新问题中寻找新的数量关系的探究，解法很多，是学生展示自我的很好平台，通过一题多解，开阔学生思路，训练思维的发散性、灵活性，充分体现由未知转化为已知的数学思想。从知识，方法上引导学生发现此时的折叠，除了前面问题1，问题2中线段和角的对应相等，还应抓住图中隐藏着PQ垂直平分AE，这是折叠的又一重要性质。
四、课堂小结 感悟反思
对照下面几个问题谈谈你的想法：（1）这节课学到了什么？（2）本节课的问题解决主要采用了什么方法？（3）还有那些疑问？由此我们可以总结矩形中的折叠问题的解题常规思路：首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件；其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形，这些是解决问题的关键；再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理，是计算边长的常用的数学思想方法.
设计意图：学生通过通过对矩形折叠问题产生的三种基本图形的合作探究，解决折叠问题中具有代表性的问题，学会如何把问题归类，形成发现规律的能力，进一步提高学生综合解决数学问题的能力。
五、能力延伸 运用提高
问题4：如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.
（1）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；（2）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。（图略）
学习重点：分析折叠过程中的数量关系、图形位置关系。
学习难点；综合运用知识挖掘矩形折叠问题中角度和线段的数量关系.
教、学具准备：教具：电子白板、多媒体课件等工具辅助教学；学具：每位学生一张矩形纸片。
教学过程：
一、活动引入 揭示课题
（一）忆一忆。经过本章学习，你认识了哪些特殊的四边形？出示一张矩形的纸片，这是什么图形？对照图形，说说矩形的有什么性质。设计意图：引导学生有条理回顾概念及相关性质，为后面研究学习做准备。
（二）折一折。活动规则：把手中的矩形纸片折叠一次。你能想一想相同的矩形纸片，都折叠了一次，为什么折叠成了不同的图形？（折痕）请你再试折几次，从几何学习的角度，你对折叠后的哪种图形最感兴趣？（图略）
二、自主学习 合作交流
在学生有了图形的动态变化直观感知后，通过对矩形不同位置的折叠产生的三种基本图形的研究，知晓折叠问题因为有了“折”就有了“形”——轴对称图形、全等形；有了“折”就有了“数”——线段之间、角与角之间的数量关系。“折”就为“数”与“形”之间的转化搭起了桥梁，数形结合是解决这类问题的突破口。三个问题的研究采用了“独立思考”、“小组讨论”、“合作探索”、“学生讲解”的方式，通过“找一找”、“猜一猜”、“练一练”、 “证一证” 、“理一理”等师生活动，鼓动学生主动观察、实验、猜测、验证、推理和交流，形成有效的建构性学习。
（三）找一找。问题1：如图，矩形纸片ABCD. 若P是边AB上一点，沿折痕PD折叠，使点A落在BC上的E处. （图略）请你找一找图中哪些相等的线段和相等的角。对学生进行知识、方法、能力梳理，引导学生自己去发现问题，解决问题，从而形成能力。
（四）理一理：在找图中相等的线段和相等的角时，你关注了哪些方面的知识？设计意图：矩形折叠中会产生很多相等的线段和相等的角，难免同学们考虑不周全，这样理一理，引导学生思考问题的有序性。分析图中相等的线段和角我们要关注折叠产生的轴对称性质，又不忘背景图形——矩形的性质，还要考虑由折叠引起的新的数量关系。
（五）练一练：若AB=6cm，BC=10cm，你能求出哪些线段的长？学生通过多种方法经历解决折叠问题中具有代表性的问题，来构建自己的知识结构，培养探究能力、合作能力。再次整理思路，总结规律。
（六）猜一猜。
问题2：如图，矩形纸片ABCD.沿折痕BD折叠， 使点A落在BC上的E处，BE与AD交于M点.①你能猜出重叠部分△MBD是什么形状，说明理由。让学生经历几何研究的“观察——猜想——证明”的过程，引导学生认识相同矩形纸片不同位置的折叠，会产生不同的数量关系，这是在几何学习中要用心体会的，此时图中隐含着一个重要的基本几何图形， 即角平分线和平行线结合在了一起，这时会出现等腰三角形，这对于我们解题有很大帮助.若AB=6cm，BC=8cm，求重合部分△MBD的面积。（图略）用前面研究学习的方法，自己独立思考，尝试解决问题，给学生创造体验成功的机会。通过新位置新问题中寻找新的数量关系，以此培养学生的观察能力和归纳能力，使学生感受到数学学习是有趣的、丰富的、有价值的.结合规范解题过程，对所学知识形成技能。
三、合作交流 探究规律
（七）证一证
问题3：如图，矩形纸片ABCD，若AB=6cm，BC=10cm，.当点P是边BC上一点，Q是AD上一点，沿折痕PQ折叠， 使点A落在BC上的E处. 连接AP，EQ.观察并思考：证明四边形APEQ是菱形.当点E与点C重合时，求出折痕PQ的长.（图略）问题3的设置，既是前面知识与方法的运用，又可以是新问题中寻找新的数量关系的探究，解法很多，是学生展示自我的很好平台，通过一题多解，开阔学生思路，训练思维的发散性、灵活性，充分体现由未知转化为已知的数学思想。从知识，方法上引导学生发现此时的折叠，除了前面问题1，问题2中线段和角的对应相等，还应抓住图中隐藏着PQ垂直平分AE，这是折叠的又一重要性质。
四、课堂小结 感悟反思
对照下面几个问题谈谈你的想法：（1）这节课学到了什么？（2）本节课的问题解决主要采用了什么方法？（3）还有那些疑问？由此我们可以总结矩形中的折叠问题的解题常规思路：首先，我们应该从由折叠产生的轴对称图形和背景图形的性质入手，找出相等的线段、角，直角三角形等，这些是我们解决问题的基本条件；其次，根据这些基本条件，再结合我们在几何中已有的知识经验，挖掘常见的基本图形，从而找到全等三角形、等腰三角形、菱形等特殊图形，这些是解决问题的关键；再有，在特殊图形中运用方程思想，借助勾股定理，是计算边长的常用的数学思想方法.
设计意图：学生通过通过对矩形折叠问题产生的三种基本图形的合作探究，解决折叠问题中具有代表性的问题，学会如何把问题归类，形成发现规律的能力，进一步提高学生综合解决数学问题的能力。
五、能力延伸 运用提高
问题4：如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5.在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK.
（1）△MNK的面积能否小于 ？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由；（2）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你用备用图探究可能出现的情况，求最大值。（图略）