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新课程改革特别注重学生思维的培养，教师培养学生思维的前提是要充分了解学生已有的认知水平，并设法将已有的相关认知联系起来，逐层引导学生探究新知，从而到达解决问题的目的。下面是三角形内角和定理的教学实录与反思，仅供参考。
一、开门见山，提出问题
师： 三角形的内角和是多少度？
生异口同声：180°。
二、逐层引导，分析问题
（1）师：请举手回答，你们是怎么知道的“三角形的内角和是180°”？
A学生自豪答：在我们读小学时，小学数学老师就教过了。
其他学生附和道：“就是”。
B学生补充道：小学数学教材中有三角形的内角和为180°。
（2）师：能记住以前老师教的和以前教材中的内容，很好！同学们，你们在读小学一年级时，老师问“1～5有几个数？”，那时你们回答5个就对了，而现在再答5个就不对了，应该有（生答：无数个）。又如小学时考你“倒数是它本身的数是多少？”那时你们答“1”是对的，而现在再答“1”就不全对了，应该是（生答：“±1”）。那么小学教材中写的和小学数学老师所教的“三角形的内角和为180°”在小学时成立，到初中还成立吗？
这问题一抛出，顿时全班就炸开锅了，一部分学生受老师上两问题的影响，开始怀疑小学的结论“三角形的内角和为180°”在小学时成立而到初中可能也不成立了，另一部分学生坚决反对，极力维护小学学过的“三角形的内角和为180°”。
C学生高高举起手中的三角板说：这块三角板的三内角分别为30°、60°、90°，其和为180°；另一块三角板的三内角分别为45°、45°、90°，其和也为180°。所以说“三角形的内角和为180°”这一结论小学成立初中也成立。
这时全班同学掌声一片，还有人高声叫“好”！很明显是支持C同学的观点。
（3）师：能用身边熟悉的东西来证明自己的观点，很好！不过，这只是特殊三角形，不能以偏概全哟。
D同学倡议道：让全班同学各自任意画一个三角形，然后用量角器量出三内角的度数，再求和，看看结果是否是180°。
还没等我表态，全班同学就立即行动起来了。不一会儿，同学们不断尖叫起来：“我的三角形内角和为180°”，“我的三角形的内角和也是180°”，如此等等。同学们都焦急地等待老师裁决，心想，这下老师应该不得不承认“三角形内角和为180°”是正确的了。
（4）师：同学们，你们太聪明了，特殊三角形太片面，你们竟然想到各自任意画一个三角形并用测量的办法来证明“三角形内角和为180°”的正确性，体现了从特殊到一般的认识过程，很好！不过，测量有误差吗？你们中有没有三内角的度数不是整数度，是用四舍五入法得到的三角形内角和为180°的？请举手。
有11人举手，不少同学还埋怨这11个同学。
师：同学们，科学的东西是严谨的，不是人多说了算。比如“非负数都大于0”，如果你们所举的非负数都是正数，那么这一结论好像就是对的，（其实正数有无穷多，无法一一列举），但如举一个反例非负数是0，这一结论就是错的，所以就不要再埋怨这11位同学了。看来用这种办法也不能证明“三角形内角和为180°”是正确的哟。
（5）此时，同学们好像到了“山穷水尽”的地步了，我又开始引导。师：下面再请同学们想一想，在我们所学的角中，有180°的角吗？
生：有，平角，一个平角等180°。
师：如能将三角形的三个内角拼成一个平角，不就成了嘛。
顿时，全班同学像吃了兴奋剂一样，立即动手，有用剪刀剪的，有用刀子裁的，还有干脆用手撕的。不一会儿，同学们好像发现新大陆似的，不断尖叫起来：“我拼成平角了”，“我也拼成平角了”，“我也是”。如此等等，再次推向高潮。
师：有没有拼成的角不是平角的？请举手。
有5人举手，其中有3人拼成的角明显大于平角，有2人拼成的角明显小于平角，很明显不是误差所致。为了让学生自己发现问题出在哪里，我便引导学生还原三角形。结果其他同学都能还原，这几个同学还原不成三角形。经过这几个学生自查原因或请其他同学一道查找原因，很快都复原了。
师：原来不能复原的原因是什么？
E同学：我们几个在剪三角形的内角时，没有标注三角形内角的顶点，拼时见角就拼，结果出现上面的错误。
师：在以后的操作实验中，你们应该注意些什么呢？
E同学：我们在以后的操作实验中，应尽可能细心，必要时还应作好标记，以免弄错了。
师：对，课堂上，不但要动眼看、动耳听、动口说、动手做，更重要的是要动脑想，养成严谨实验的好习惯。
（6）学生以为这下“三角形内角和为180°”该得证了吧。但我又开始引导。师：剪三个角来拼太麻烦，能否只剪两个角，也能拼成平角呢？
学生很快有两种方法，得出三角形三内角能拼成平角，如图甲、乙所示：
（7）师：能否只剪一个角，也能通过拼后证明三角形的三内角和为180°？
学生很快就得到如下图形：
学生F的理由是：
∵在丙图中把∠A剪下拼在∠ACD处，
∴∠A=∠ACD
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
∴∠B+∠BCD=∠B+（∠BCA+∠ACD）=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠A=∠ACD
∴∠A+∠B+∠BCA=180°
即是ΔABC的三内角和为180°。
学生G的理由是：
∵在丁图中把∠B剪下拼在∠DCE处，使点B、C、D在同一直线上。
∴∠B=∠DCE，∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠DCE=180° ∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠DCE=180°，∠B=∠DCE
∴∠BCA+∠A+∠B=180°，即是ΔABC的三内角和为180°。
（9）师：以上两位同学用只剪一个角，再运用拼角与推理相结合的办法，得出了三角形的三内角和为180°，很不错！请同学们再思考，能否一个角不剪，也能将三角形的三个内角折成一个平角？分组探讨。
经过小组合作探究，得出以下结果：
三、推理证明，解决问题
师：同学们，你们太棒了！不过，你们以上用的度量法、剪拼法和翻折法有误差而不精准，只能用来粗略验证三角形内角和为180°，而不能用来证明这一结论的正确性。要证明这一结论是否正确，必须运用严密的数学推理进行证明。对于一个文字命题，必须画出相应的图形，写出与之相对应的已知、求证和证明过程才行。下面我们一道来完成：
求证：三角形的内角和为180°。
已知：如图，ΔABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：延长BC于D，作CE∥AB，
∴∠BCA+∠ACE+∠DCE=180°，（平角定义）
∠A=∠ACE，（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠DCE，（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠B+∠BCA=180°，即ΔABC的三内角和为180°。
特别说明：作辅助线应画虚线，作辅助线在几何题中经常用到。
下面请同学们根据以上的探究，分组写出“三角形的内角和为180°”的其它证明过程。（培养学生一题多解的能力）
运用新知，提升能力（梯度训练，满足各层次学生的需要）
（1）在ΔABC中，∠A=50° ， ∠B=60°，则∠B=____度。
（2）在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A=____度，∠B____度，∠C=____度。
（3）在ΔABC中，∠A比∠B大50°，∠C比∠B小20°，
则∠A=____度，∠B____度，∠C=____度。
（4）在ΔABC中，∠A=80°，点E、F分别在AB、AC边上，且不与点A、B、C重合，沿EF翻折，如图，点A落在ΔABC内部D处，则∠BED+∠CFD=____度。
（以下变式，自己画图）
变式一：如点A落在ΔABC的AB边点D处，则∠BDF+∠CFD=____度。
变式二：如点A落在ΔABC的AC边点D处，则∠BED+∠CDE=____度。
变式三：如点A落在ΔABC的BC边点D处，则∠BED+∠CFD=____度。
变式四：如点A落在ΔABC的外部点D处，交AC边于点G，则∠BED+∠CGE=____度。
五、拓展延伸，揭示本质
师：证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三内角“凑”到三角形的一个顶点，也可以把三内角“凑”三角形的一条边上一点，还可以把三内角“凑”到三角形内一点；也可以把三内角“凑”到三角形外一点。总之，创造条件，实为作平行线或对称轴，将三内角平移或轴对称，然后用几何推理的办法将三内角构成平角就行了。未探讨的几种情况留给同学们课后探讨，很有趣儿的哟！
反思：新课程改革要求把课堂还给学生，教师起主导作用，重在培养学生变通思维和创新能力。教师应逐层适时启发、诱导学生，充分调动学生的好奇心和求知欲，培养学生“五动”学习的良好习惯，即动耳、动眼、动口、动手、动脑。让学生在教学中真正起到主体作用，真正让学生感受到探索知识的乐趣，体会到合作学习的友谊，享受到获得成功的喜悦！“道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和易以思，可谓善喻也。”《礼记·学记》中这段话，阐述的就是这个道理。
一、开门见山，提出问题
师： 三角形的内角和是多少度？
生异口同声：180°。
二、逐层引导，分析问题
（1）师：请举手回答，你们是怎么知道的“三角形的内角和是180°”？
A学生自豪答：在我们读小学时，小学数学老师就教过了。
其他学生附和道：“就是”。
B学生补充道：小学数学教材中有三角形的内角和为180°。
（2）师：能记住以前老师教的和以前教材中的内容，很好！同学们，你们在读小学一年级时，老师问“1～5有几个数？”，那时你们回答5个就对了，而现在再答5个就不对了，应该有（生答：无数个）。又如小学时考你“倒数是它本身的数是多少？”那时你们答“1”是对的，而现在再答“1”就不全对了，应该是（生答：“±1”）。那么小学教材中写的和小学数学老师所教的“三角形的内角和为180°”在小学时成立，到初中还成立吗？
这问题一抛出，顿时全班就炸开锅了，一部分学生受老师上两问题的影响，开始怀疑小学的结论“三角形的内角和为180°”在小学时成立而到初中可能也不成立了，另一部分学生坚决反对，极力维护小学学过的“三角形的内角和为180°”。
C学生高高举起手中的三角板说：这块三角板的三内角分别为30°、60°、90°，其和为180°；另一块三角板的三内角分别为45°、45°、90°，其和也为180°。所以说“三角形的内角和为180°”这一结论小学成立初中也成立。
这时全班同学掌声一片，还有人高声叫“好”！很明显是支持C同学的观点。
（3）师：能用身边熟悉的东西来证明自己的观点，很好！不过，这只是特殊三角形，不能以偏概全哟。
D同学倡议道：让全班同学各自任意画一个三角形，然后用量角器量出三内角的度数，再求和，看看结果是否是180°。
还没等我表态，全班同学就立即行动起来了。不一会儿，同学们不断尖叫起来：“我的三角形内角和为180°”，“我的三角形的内角和也是180°”，如此等等。同学们都焦急地等待老师裁决，心想，这下老师应该不得不承认“三角形内角和为180°”是正确的了。
（4）师：同学们，你们太聪明了，特殊三角形太片面，你们竟然想到各自任意画一个三角形并用测量的办法来证明“三角形内角和为180°”的正确性，体现了从特殊到一般的认识过程，很好！不过，测量有误差吗？你们中有没有三内角的度数不是整数度，是用四舍五入法得到的三角形内角和为180°的？请举手。
有11人举手，不少同学还埋怨这11个同学。
师：同学们，科学的东西是严谨的，不是人多说了算。比如“非负数都大于0”，如果你们所举的非负数都是正数，那么这一结论好像就是对的，（其实正数有无穷多，无法一一列举），但如举一个反例非负数是0，这一结论就是错的，所以就不要再埋怨这11位同学了。看来用这种办法也不能证明“三角形内角和为180°”是正确的哟。
（5）此时，同学们好像到了“山穷水尽”的地步了，我又开始引导。师：下面再请同学们想一想，在我们所学的角中，有180°的角吗？
生：有，平角，一个平角等180°。
师：如能将三角形的三个内角拼成一个平角，不就成了嘛。
顿时，全班同学像吃了兴奋剂一样，立即动手，有用剪刀剪的，有用刀子裁的，还有干脆用手撕的。不一会儿，同学们好像发现新大陆似的，不断尖叫起来：“我拼成平角了”，“我也拼成平角了”，“我也是”。如此等等，再次推向高潮。
师：有没有拼成的角不是平角的？请举手。
有5人举手，其中有3人拼成的角明显大于平角，有2人拼成的角明显小于平角，很明显不是误差所致。为了让学生自己发现问题出在哪里，我便引导学生还原三角形。结果其他同学都能还原，这几个同学还原不成三角形。经过这几个学生自查原因或请其他同学一道查找原因，很快都复原了。
师：原来不能复原的原因是什么？
E同学：我们几个在剪三角形的内角时，没有标注三角形内角的顶点，拼时见角就拼，结果出现上面的错误。
师：在以后的操作实验中，你们应该注意些什么呢？
E同学：我们在以后的操作实验中，应尽可能细心，必要时还应作好标记，以免弄错了。
师：对，课堂上，不但要动眼看、动耳听、动口说、动手做，更重要的是要动脑想，养成严谨实验的好习惯。
（6）学生以为这下“三角形内角和为180°”该得证了吧。但我又开始引导。师：剪三个角来拼太麻烦，能否只剪两个角，也能拼成平角呢？
学生很快有两种方法，得出三角形三内角能拼成平角，如图甲、乙所示：
（7）师：能否只剪一个角，也能通过拼后证明三角形的三内角和为180°？
学生很快就得到如下图形：
学生F的理由是：
∵在丙图中把∠A剪下拼在∠ACD处，
∴∠A=∠ACD
∴AB∥CD （内错角相等，两直线平行）
∴∠B+∠BCD=∠B+（∠BCA+∠ACD）=180°（两直线平行，同旁内角互补）
又∵∠A=∠ACD
∴∠A+∠B+∠BCA=180°
即是ΔABC的三内角和为180°。
学生G的理由是：
∵在丁图中把∠B剪下拼在∠DCE处，使点B、C、D在同一直线上。
∴∠B=∠DCE，∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠DCE=180° ∴AB∥CD （同位角相等，两直线平行）
∴∠A=∠ACE（两直线平行，内错角相等）
又∵∠BCD=∠BCA+∠ACE+∠DCE=180°，∠B=∠DCE
∴∠BCA+∠A+∠B=180°，即是ΔABC的三内角和为180°。
（9）师：以上两位同学用只剪一个角，再运用拼角与推理相结合的办法，得出了三角形的三内角和为180°，很不错！请同学们再思考，能否一个角不剪，也能将三角形的三个内角折成一个平角？分组探讨。
经过小组合作探究，得出以下结果：
三、推理证明，解决问题
师：同学们，你们太棒了！不过，你们以上用的度量法、剪拼法和翻折法有误差而不精准，只能用来粗略验证三角形内角和为180°，而不能用来证明这一结论的正确性。要证明这一结论是否正确，必须运用严密的数学推理进行证明。对于一个文字命题，必须画出相应的图形，写出与之相对应的已知、求证和证明过程才行。下面我们一道来完成：
求证：三角形的内角和为180°。
已知：如图，ΔABC，求证：∠A+∠B+∠C=180°
证明：延长BC于D，作CE∥AB，
∴∠BCA+∠ACE+∠DCE=180°，（平角定义）
∠A=∠ACE，（两直线平行，内错角相等）
∠B=∠DCE，（两直线平行，同位角相等）
∴∠A+∠B+∠BCA=180°，即ΔABC的三内角和为180°。
特别说明：作辅助线应画虚线，作辅助线在几何题中经常用到。
下面请同学们根据以上的探究，分组写出“三角形的内角和为180°”的其它证明过程。（培养学生一题多解的能力）
运用新知，提升能力（梯度训练，满足各层次学生的需要）
（1）在ΔABC中，∠A=50° ， ∠B=60°，则∠B=____度。
（2）在ΔABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，则∠A=____度，∠B____度，∠C=____度。
（3）在ΔABC中，∠A比∠B大50°，∠C比∠B小20°，
则∠A=____度，∠B____度，∠C=____度。
（4）在ΔABC中，∠A=80°，点E、F分别在AB、AC边上，且不与点A、B、C重合，沿EF翻折，如图，点A落在ΔABC内部D处，则∠BED+∠CFD=____度。
（以下变式，自己画图）
变式一：如点A落在ΔABC的AB边点D处，则∠BDF+∠CFD=____度。
变式二：如点A落在ΔABC的AC边点D处，则∠BED+∠CDE=____度。
变式三：如点A落在ΔABC的BC边点D处，则∠BED+∠CFD=____度。
变式四：如点A落在ΔABC的外部点D处，交AC边于点G，则∠BED+∠CGE=____度。
五、拓展延伸，揭示本质
师：证明三角形内角和定理时，既可以把三角形的三内角“凑”到三角形的一个顶点，也可以把三内角“凑”三角形的一条边上一点，还可以把三内角“凑”到三角形内一点；也可以把三内角“凑”到三角形
反思：新课程改革要求把课堂还给学生，教师起主导作用，重在培养学生变通思维和创新能力。教师应逐层适时启发、诱导学生，充分调动学生的好奇心和求知欲，培养学生“五动”学习的良好习惯，即动耳、动眼、动口、动手、动脑。让学生在教学中真正起到主体作用，真正让学生感受到探索知识的乐趣，体会到合作学习的友谊，享受到获得成功的喜悦！“道而弗牵则和，强而弗抑则易，开而弗达则思。和易以思，可谓善喻也。”《礼记·学记》中这段话，阐述的就是这个道理。