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摘要：《曲线上一点处的切线》一课，教学环节有五个：回顾旧知，引入课题;探究发现，建构概念;追溯历史，深化概念;应用练习，巩固概念;回顾总结，升华概念。教学立意有三点：经历概念形成过程，获得数学活动经验，感悟数学文化。
关键词：概念形成数学活动数学文化《曲线上一点处的切线》
在江苏省第十四届中学数学教学高级论坛活动中，笔者执教了一节研究课，教学内容为苏教版高中数学选修2-2“1.1.2瞬时变化率——导数”的第一部分“曲线上一点处的切线”。本节课，教学内容以前一小节“平均变化率”为基础，为后两部分“瞬时速度与瞬时加速度”“导数”做铺垫。教学中，笔者努力让学生经历概念的形成过程，获得数学活动经验，并感悟数学文化，取得了较好的效果。下面，先呈现本节课的教学过程，再进一步阐释教学立意，以供探讨。
一、教学过程
（一）回顾旧知，引入课题师请同学们回忆一下，什么叫作平均变化率？师（出示图1）平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，体现了“以直代曲”思想。（出示下页图2）请同学们观察图中这些函数在区间[0，1]上的平均变化率，是怎样的？
生它们在区间[0，1]上的平均变化率都是1。
师的确，平均变化率是一样的。但是，这几个函数在区间[0，1]上的图像存在明显差异，有的上凸，有的下凹，所以，再用平均变化率刻画就比较“粗糙”了，有时还会产生错误判断。因为平均变化率只与区间端点有关，所以我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势。这就是本节课要研究的问题。
（二）探究发现，建构概念
（出示问题1：如何精确刻画曲线上一点P处的变化趋势？）
师（播放纪录片《从太空看地球》，然后出示一组照片）请同学们先看一组照片：第一张是探月卫星从月球传回的地球照片，第二张是杨利伟在“神舟五号”上拍摄的地球照片，第三张是一条笔直的道路照片。从遥远的月球拍到的地球是球体，表面是曲面;近一点，从“神舟五号”拍到的地球表面弯曲程度变小了;再近一点，到我们脚下，是一马平川。我们不禁要
问：我们生活在曲面上，还是平面上？
生我们既生活在曲面上，又生活在平面上，因为曲绝对，直相对。
生宏观上曲，微观上直。
生我们之所以感觉生活在平面上，实际上是对地球表面不断放大产生的效果。
师同学们说得都非常好，富有哲理性。受此启发，可以用“放大法”来研究曲线上某一点处的变化趋势。（出示图3）观察点P附近的曲线，随着图形放大，你看到了怎样的现象？
生曲线在点P附近几乎成了一条直线。
师“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确的位置吗？为什么说“几乎”？
生曲线在点P附近逼近一条确定的直线，这条直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线。
师在点P附近用直线代替曲线，即在很小的范围内“以直代曲”，这条直线的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的变化趋势。这样，通过放大图形、局部以直代曲，解决了问题1。那么，怎样找到这条直线呢？
（出示问题2：怎样找到曲线上一点P处最逼近曲线的直线l？）
师（出示图4）直线l1、l2为经过曲线C上一点P的两条直线。（1）在点P附近，哪一条直线更加逼近曲线？（2）在点P附近，能作出一条比l1、l2更加逼近曲线的直线l3吗？（3）在点P附近，能作出一条比l1、l2、l3更加逼近曲线的直线l4吗？（4）这是什么数学思想方法？
生直线l2比l1更加逼近曲线。
生能作出更加逼近的直线，只要将直线l2绕点P转动。
生设Q是直线l1与曲线C的另一个交点，随着点Q沿曲线C向点P运动，会产生更加逼近曲线的直线l3、l4……
师非常好！直线PQ称为曲线C的割线。随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为在点P处最逼近曲线的直线l。直线z称为曲线C在点P处的切线。所以，我们可以用点P处的切线的斜率来刻画曲线C在点P处的变化趋势。这种方法叫作“割线逼近切线”。（几何画板演示，最终呈现图5）现在用几何画板演示这个逼近过程。同学们感觉这个过程是不是很美妙？能否用一首小诗来赞美这个过程？
生当Q无限逼近P时，割线PQ经过不懈追求，量变引起质变，近似走向精确，最后瞬间完成美丽的蜕变，割线最终就成为切线。（学生热烈掌声。）
师请大家完成练习。（出示练习：利用直尺，通过割线逼近切线的方法，在图6中作出曲线y=x3在点O处的切线。学生完成，教师点评。然后，教师动画演示了如图7所示的三组函数在点P处的切线。）
生有的切线穿过曲线，切线和曲线可能有多个交点。
生这和初中学过的圆的切线的定义矛盾：切线与圆只有一个公共点，且不能穿过圆。
师是的，这不同于我们最初对切线的认识：切线与曲线只有一个公共点，切线在曲线的一侧。事實上，古希腊数学家就和我们的认识相似。
（三）追溯历史，深化概念
师（出示欧几里得的头像及著作《几何原本》的封面、阿波罗尼奥斯的头像及著作《圆锥曲线论》的封面）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，将圆的切线定义为“与圆相遇但延长不穿过圆的直线”，即将圆的切线视为“与圆只有一个公共点且落在圆外的直线”。之后，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中，将圆锥曲线的切线看作“与圆锥曲线只有一个公共点且全部落在圆锥曲线之外的直线”。直到17世纪，法国数学家费马、笛卡儿等微积分先驱才给出求曲线切线的一般方法，把切线看作割线的极限位置。这正是牛顿及莱布尼兹的微分法思路。至此，切线问题的研究为微积分的创立做了充分的准备。（稍停）经过数学家们不懈地努力，切线的定义从静态到动态，跨越数千年的岁月。数学概念是不断继承、发展和完善的。我们今天的学习同样要有批判的眼光，具有质疑和创新精神。（稍停）利用割线逼近切线的方法，借助直尺找到切线，是从“形”的角度研究。华罗庚先生说过“形少数时难人微”，我们能否从“数”的角度研究呢？研究什么呢？ 生求切线的斜率或求切线的方程。
师非常好！需要准确地求出切线的斜率。
（出示问题3：如何求出曲线上一点P处切线的斜率？学生迟疑。）
师有困难，可以回到定义。
生求割线的斜率。
师仅求割线的斜率可以吗？
生切线是用割线逼近的，所以切线的斜率也是用割线的斜率逼近的。
师回答得非常好！用割线斜率逼近切线斜率。
（五）回顾总结，升华概念
师通过这堂课的学习，谈谈你的收获，请用树状
图画出你的收获。
（教师引导学生得出本节课的知识体系，如图9所示。）
师最后，向同学们推荐一本数学科普读物——《微积分快餐》，并借用王安石的两句诗——“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛”结束我们今天的探究之旅。
二、教学立意
（一）经历概念形成过程
概念教学是最基本也最重要的。数学中的每一个概念都有一个形成过程。但是，教材往往直接或以逻辑推理（新旧联系）的形式简单地给出概念，使学生不能完整地经历其形成的曲折过程，对其进行“再发现”“再创造”。长期以来，学生会认为，数学概念是规定的，是不必讲道理的。这降低了数学的教学价值，使学生无法理解数学概念提出的现实意义，无法领悟数学概念背后丰富的思想和精神，无法形成对其整体、全面、深刻的认识，不利于学生数学素养的发展。
本节课的教学，如果简单、机械地给出切线概念，随即讲解例题、进行练习，总结并强调求切线斜率的步骤，学生或许也会做题，但是仅仅停留在会做题这个层面上。因此，笔者设置了逐层递进的三个核心问题（如何精确刻画曲线上一点P处的变化趋势？怎样找到曲线上一点P处最逼近曲线的直线z？如何求出曲线上一点P处切线的斜率？），让学生通过问题的解决，经历切线概念从静态到动态的形成过程，理解其精细刻画函数、促进微积分诞生的价值，领悟其中局部放大、以直代曲、动态逼近、数形结合等思想。
（二）获得数学活动经验
“学生主体”是当下课程改革倡导的根本理念。数学教学一切目标的实现，都要以学生真实体验数学活动，获得活动经验（尽可能获得直接经验）为基础。在教学中，教师要让学生自己体验观察、操作、想象、抽象、推理、计算等丰富的动手动脑、运用感官的数学活动，从中发现知识、解决问题。
本节课中，笔者让学生回忆平均变化率的概念，理解学习“曲线上一点处的切线”这一“瞬时变化率”的必要性;观察“点P附近的曲线”，体会以直代曲的合理性;观看并操作割线逼近切线的过程，体会动态逼近的方法;通过推理、计算求出切线的斜率，体会数形结合等思想;通过画树状图，建构本节课的知识体系，促进对数学本质的理解。
（三）感悟数学文化
数学文化主要是指数学内容背后的人文活动。数学终归是人类发现和创造的，数学文化能够“还数学以本来面目”，让数学更有“人情味”“美趣味”。
数学史是数学文化的一种载体。波利亚在《数学的发现》一书中指出：只有理解人类如何获得某些事实或概念的认识，我们才能对人类如何获得这样的认识，做出更好的判断。数学史对人类获取数学知识（解决数学问题）的来龙去脉有着丰富、翔实的记载。在数学教学中融人数学史，有助于学生突破学习障碍，理解数学本质。
本节课教学前，学生已经学过一些切线知识，但是对切线的认识局限于“切线与曲线只有一个公共点，切线在曲线的一侧”。本节课教学中，这个认识会与新的知识“切线和曲线可以有多个交点”产生冲突。也就是说，“公共点的个数”这个问题是本节课学生学习的关键节点。所以在教学中，笔者及时穿插数学史知识，让学生了解切线概念的发展历程，认识到自己对数学概念的认识和人类对数学概念的认识很相似，都具有“渐进性”，从而帮助学生突破学习障碍。
数学和其他领域内容的联系（包括数学的现实应用），是数学文化的另一种载体。体现数学的广泛联系（应用），可以使得数学教学情趣横生、引人入胜，激发学生的学习热情。
本节课中，笔者播放纪录片《从太空看地球》，引导学生用一首小诗描绘割线逼近切线的美妙過程，借用王安石的两句诗结束教学，充分体现了数学的广泛联系。
关键词：概念形成数学活动数学文化《曲线上一点处的切线》
在江苏省第十四届中学数学教学高级论坛活动中，笔者执教了一节研究课，教学内容为苏教版高中数学选修2-2“1.1.2瞬时变化率——导数”的第一部分“曲线上一点处的切线”。本节课，教学内容以前一小节“平均变化率”为基础，为后两部分“瞬时速度与瞬时加速度”“导数”做铺垫。教学中，笔者努力让学生经历概念的形成过程，获得数学活动经验，并感悟数学文化，取得了较好的效果。下面，先呈现本节课的教学过程，再进一步阐释教学立意，以供探讨。
一、教学过程
（一）回顾旧知，引入课题师请同学们回忆一下，什么叫作平均变化率？师（出示图1）平均变化率近似地刻画了曲线在某一区间上的变化趋势，体现了“以直代曲”思想。（出示下页图2）请同学们观察图中这些函数在区间[0，1]上的平均变化率，是怎样的？
生它们在区间[0，1]上的平均变化率都是1。
师的确，平均变化率是一样的。但是，这几个函数在区间[0，1]上的图像存在明显差异，有的上凸，有的下凹，所以，再用平均变化率刻画就比较“粗糙”了，有时还会产生错误判断。因为平均变化率只与区间端点有关，所以我们需要研究曲线上某一点处的变化趋势。这就是本节课要研究的问题。
（二）探究发现，建构概念
（出示问题1：如何精确刻画曲线上一点P处的变化趋势？）
师（播放纪录片《从太空看地球》，然后出示一组照片）请同学们先看一组照片：第一张是探月卫星从月球传回的地球照片，第二张是杨利伟在“神舟五号”上拍摄的地球照片，第三张是一条笔直的道路照片。从遥远的月球拍到的地球是球体，表面是曲面;近一点，从“神舟五号”拍到的地球表面弯曲程度变小了;再近一点，到我们脚下，是一马平川。我们不禁要
问：我们生活在曲面上，还是平面上？
生我们既生活在曲面上，又生活在平面上，因为曲绝对，直相对。
生宏观上曲，微观上直。
生我们之所以感觉生活在平面上，实际上是对地球表面不断放大产生的效果。
师同学们说得都非常好，富有哲理性。受此启发，可以用“放大法”来研究曲线上某一点处的变化趋势。（出示图3）观察点P附近的曲线，随着图形放大，你看到了怎样的现象？
生曲线在点P附近几乎成了一条直线。
师“几乎成了一条直线”，这么一条特殊的直线有明确的位置吗？为什么说“几乎”？
生曲线在点P附近逼近一条确定的直线，这条直线是经过点P的所有直线中最逼近曲线的一条直线。
师在点P附近用直线代替曲线，即在很小的范围内“以直代曲”，这条直线的斜率便量化了曲线经过点P时上升或下降的变化趋势。这样，通过放大图形、局部以直代曲，解决了问题1。那么，怎样找到这条直线呢？
（出示问题2：怎样找到曲线上一点P处最逼近曲线的直线l？）
师（出示图4）直线l1、l2为经过曲线C上一点P的两条直线。（1）在点P附近，哪一条直线更加逼近曲线？（2）在点P附近，能作出一条比l1、l2更加逼近曲线的直线l3吗？（3）在点P附近，能作出一条比l1、l2、l3更加逼近曲线的直线l4吗？（4）这是什么数学思想方法？
生直线l2比l1更加逼近曲线。
生能作出更加逼近的直线，只要将直线l2绕点P转动。
生设Q是直线l1与曲线C的另一个交点，随着点Q沿曲线C向点P运动，会产生更加逼近曲线的直线l3、l4……
师非常好！直线PQ称为曲线C的割线。随着点Q沿曲线C向点P运动，割线PQ在点P附近越来越逼近曲线C。当点Q无限逼近点P时，直线PQ最终成为在点P处最逼近曲线的直线l。直线z称为曲线C在点P处的切线。所以，我们可以用点P处的切线的斜率来刻画曲线C在点P处的变化趋势。这种方法叫作“割线逼近切线”。（几何画板演示，最终呈现图5）现在用几何画板演示这个逼近过程。同学们感觉这个过程是不是很美妙？能否用一首小诗来赞美这个过程？
生当Q无限逼近P时，割线PQ经过不懈追求，量变引起质变，近似走向精确，最后瞬间完成美丽的蜕变，割线最终就成为切线。（学生热烈掌声。）
师请大家完成练习。（出示练习：利用直尺，通过割线逼近切线的方法，在图6中作出曲线y=x3在点O处的切线。学生完成，教师点评。然后，教师动画演示了如图7所示的三组函数在点P处的切线。）
生有的切线穿过曲线，切线和曲线可能有多个交点。
生这和初中学过的圆的切线的定义矛盾：切线与圆只有一个公共点，且不能穿过圆。
师是的，这不同于我们最初对切线的认识：切线与曲线只有一个公共点，切线在曲线的一侧。事實上，古希腊数学家就和我们的认识相似。
（三）追溯历史，深化概念
师（出示欧几里得的头像及著作《几何原本》的封面、阿波罗尼奥斯的头像及著作《圆锥曲线论》的封面）公元前3世纪，古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中，将圆的切线定义为“与圆相遇但延长不穿过圆的直线”，即将圆的切线视为“与圆只有一个公共点且落在圆外的直线”。之后，阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中，将圆锥曲线的切线看作“与圆锥曲线只有一个公共点且全部落在圆锥曲线之外的直线”。直到17世纪，法国数学家费马、笛卡儿等微积分先驱才给出求曲线切线的一般方法，把切线看作割线的极限位置。这正是牛顿及莱布尼兹的微分法思路。至此，切线问题的研究为微积分的创立做了充分的准备。（稍停）经过数学家们不懈地努力，切线的定义从静态到动态，跨越数千年的岁月。数学概念是不断继承、发展和完善的。我们今天的学习同样要有批判的眼光，具有质疑和创新精神。（稍停）利用割线逼近切线的方法，借助直尺找到切线，是从“形”的角度研究。华罗庚先生说过“形少数时难人微”，我们能否从“数”的角度研究呢？研究什么呢？ 生求切线的斜率或求切线的方程。
师非常好！需要准确地求出切线的斜率。
（出示问题3：如何求出曲线上一点P处切线的斜率？学生迟疑。）
师有困难，可以回到定义。
生求割线的斜率。
师仅求割线的斜率可以吗？
生切线是用割线逼近的，所以切线的斜率也是用割线的斜率逼近的。
师回答得非常好！用割线斜率逼近切线斜率。
（五）回顾总结，升华概念
师通过这堂课的学习，谈谈你的收获，请用树状
图画出你的收获。
（教师引导学生得出本节课的知识体系，如图9所示。）
师最后，向同学们推荐一本数学科普读物——《微积分快餐》，并借用王安石的两句诗——“看似寻常最奇崛，成如容易却艰辛”结束我们今天的探究之旅。
二、教学立意
（一）经历概念形成过程
概念教学是最基本也最重要的。数学中的每一个概念都有一个形成过程。但是，教材往往直接或以逻辑推理（新旧联系）的形式简单地给出概念，使学生不能完整地经历其形成的曲折过程，对其进行“再发现”“再创造”。长期以来，学生会认为，数学概念是规定的，是不必讲道理的。这降低了数学的教学价值，使学生无法理解数学概念提出的现实意义，无法领悟数学概念背后丰富的思想和精神，无法形成对其整体、全面、深刻的认识，不利于学生数学素养的发展。
本节课的教学，如果简单、机械地给出切线概念，随即讲解例题、进行练习，总结并强调求切线斜率的步骤，学生或许也会做题，但是仅仅停留在会做题这个层面上。因此，笔者设置了逐层递进的三个核心问题（如何精确刻画曲线上一点P处的变化趋势？怎样找到曲线上一点P处最逼近曲线的直线z？如何求出曲线上一点P处切线的斜率？），让学生通过问题的解决，经历切线概念从静态到动态的形成过程，理解其精细刻画函数、促进微积分诞生的价值，领悟其中局部放大、以直代曲、动态逼近、数形结合等思想。
（二）获得数学活动经验
“学生主体”是当下课程改革倡导的根本理念。数学教学一切目标的实现，都要以学生真实体验数学活动，获得活动经验（尽可能获得直接经验）为基础。在教学中，教师要让学生自己体验观察、操作、想象、抽象、推理、计算等丰富的动手动脑、运用感官的数学活动，从中发现知识、解决问题。
本节课中，笔者让学生回忆平均变化率的概念，理解学习“曲线上一点处的切线”这一“瞬时变化率”的必要性;观察“点P附近的曲线”，体会以直代曲的合理性;观看并操作割线逼近切线的过程，体会动态逼近的方法;通过推理、计算求出切线的斜率，体会数形结合等思想;通过画树状图，建构本节课的知识体系，促进对数学本质的理解。
（三）感悟数学文化
数学文化主要是指数学内容背后的人文活动。数学终归是人类发现和创造的，数学文化能够“还数学以本来面目”，让数学更有“人情味”“美趣味”。
数学史是数学文化的一种载体。波利亚在《数学的发现》一书中指出：只有理解人类如何获得某些事实或概念的认识，我们才能对人类如何获得这样的认识，做出更好的判断。数学史对人类获取数学知识（解决数学问题）的来龙去脉有着丰富、翔实的记载。在数学教学中融人数学史，有助于学生突破学习障碍，理解数学本质。
本节课教学前，学生已经学过一些切线知识，但是对切线的认识局限于“切线与曲线只有一个公共点，切线在曲线的一侧”。本节课教学中，这个认识会与新的知识“切线和曲线可以有多个交点”产生冲突。也就是说，“公共点的个数”这个问题是本节课学生学习的关键节点。所以在教学中，笔者及时穿插数学史知识，让学生了解切线概念的发展历程，认识到自己对数学概念的认识和人类对数学概念的认识很相似，都具有“渐进性”，从而帮助学生突破学习障碍。
数学和其他领域内容的联系（包括数学的现实应用），是数学文化的另一种载体。体现数学的广泛联系（应用），可以使得数学教学情趣横生、引人入胜，激发学生的学习热情。
本节课中，笔者播放纪录片《从太空看地球》，引导学生用一首小诗描绘割线逼近切线的美妙過程，借用王安石的两句诗结束教学，充分体现了数学的广泛联系。