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摘要：数学概念教学是数学教学的具体任务之一，数学概念是数学知识体系的细胞，是建立数学理论的基础。教师可以设置正确、合理的教学目标，让学生理解概念的外延与内涵；可以通过各种有效形式让学生掌握抽象的概念。教师在概念教学中要培养学生的应用意识，这既是对概念的巩固，也是培养学生的能力与素质的重要环节。
关键词：数学概念；内涵与外延；抽象；应用
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-0079
数学概念是数学理论的核心和精华，理解和掌握数学概念是提高教学质量和水平的关键。因此教学中要注意让学生在解决实际问题的过程中，理解概念的内涵和外延是先决条件，教学中应该采用有效的方法使学生进一步体会抽象的数学概念。然后让学生在认识、理解、体会概念的基础上进行概念的应用。
人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽象出来，加以概括，就成为概念。概念反映的是客观事物一般的、本质的特征。在数学教学中，数学概念是教学的核心内容之一，是新知识的起点，是逻辑推理的依据，是合理运算的保证。由于数学概念比较抽象，很难在短时间里讲清概念的内涵与外延，导致很多教师不重视概念教学。教师更喜欢在课堂上讲解各种典型例题，课下布置各样的经典试题让学生练习，教师希望通过精讲精练习题来达到巩固概念的目的。事实证明：只要求学生解习题，而不给学生讲透数学概念、实质问题，都是授之以鱼而不是授之以渔。因此笔者认为有必要正本求源，教师必须进行系统而又严肃的概念教学。学生只有了解概念才能进行正确的思维活动和判断与推理。下面，笔者结合教学实践谈谈在数学概念教学中的几点感悟。
一、让学生理解概念的内涵与外延
数学概念教学的重点是让学生把握概念的内涵与外延，只有这样，才能揭示概念的本质和关键，促使学生掌握概念。
1. 概念的内涵
数学概念的内涵其实就是概念的“质”，是事物的本质属性，也就是概念的根本。如有理数的内涵是：整数和分数（有限小数和无限循环小数）。
2. 概念的外延是概念的“量”
是指适合这个概念的一切对象。即这个概念的延用范围。如各种函数：一次函数、二次函数、反比例函数等都是函数这一概念的外延。
3. 概念的内涵与外延的关系
概念的内涵和外延既相互依赖又相互制约。还存在着“反变”的相依关系：内涵越多，外延就越小；内涵越少，外延就越大。如从三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三种概念来分析，当它们的内涵越来越大，相反它们的外延就越来越小；反之它们的外延就越来越大。
明确了概念的内涵与外延，就等于把握住了概念的全部。内涵和外延是概念教学不可分割的两部分。只要揭示概念的内涵，就会涉及概念的外延。将两者相统一，才能使概念教学更加完美，从而提高学生的思维水平和数学素养。
二、让学生有效地掌握抽象的概念
数学概念都是从具体的实际问题中抽象出来的，因而具有高度的概括性和抽象性，学生较难理解。笔者认为要从这几个方面入手：
1. 借助图片、模型和多媒体等展示实物
学生对数学概念的理解要经历从表象到抽象、从直观到分析的发展过程。因此在教学中要重视概念的直观性和形象性，要充分利用好模型、图片、多媒体等手段帮助学生理解概念。例如：圆锥的侧面积和全面积是初中数学圆章节的拓展内容，这节内容包含了图形从平面向立体转化的重要思想，但由于学生对立体图形的了解十分有限且又缺乏足够的空间想象力，故对于圆锥的侧面积、母线、圆锥的高等概念理解有困难，这时如借助圆锥模型或采用多媒体教学，生动、形象地显示它们的构造及旋转情况，不仅可激发学生的兴趣，也可让学生通过观察联想到生活中的具体实例，两者相得益彰，既化解疑难，加深对概念的印象，又丰富了學生的想象，使抽象的数学概念与生活接近了一大步，在潜移默化中，学生的直觉思维也得以培养。
2. 借助旧概念，了解新概念形成的原因
从数学概念的特点可知，绝大多数的概念是建立在旧概念基础上的，能否有效建立起新概念与学生认识结构之间的有机联系，往往是新概念教学能否成功的关键。因此，教师可做一些铺垫来加强新旧概念之间的联系。例如：平面直角坐标系和函数是紧密相连、一脉相承的，由坐标系做铺垫，教师在通过表格、图像、数学表达式的展示，逐步引出函数的概念。再结合课本的例子，才可使学生对此概念形成初步印象。至于要学生真正理解函数概念，并不是一节课就能达到，需要今后通过学习各种具体的函数，才能逐步达到对函数有较深理解。
3. 引导学生用数学术语表达抽象的概念
众所周知，语言表达是概念学习过程中非常重要的环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力直接影响逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成。教学中，由于前面已有了充分的感知和理解，故可试着让学生自己概括出各种抽象的概念，教师在此基础上进行修正、提升，再形成完整的、准确的概念。例如：反比例函数概念学习“抽象概括”活动设计：（1）思考课本“三个引例”中两个变量与常量的意义联系，并总结三者之间的共性；（2）观察上述“三个解析式”，从形式上看三者有什么共同特征？题后反思：①从本质上：两个变量的积不变（k≠0）；②从形式上：形如y=■（k≠0）的函数叫做反比例函数，常数k叫做比例系数，最后让学生自己概括反比例函数的概念。
4. 借助综合、归纳、分类形成概念体系
数学的本质不是纯理性的逻辑推演，而是通过归纳构筑在经验基础上的一门拟经验的科学。由于平时所学的概念比较分散、零乱，故要把杂乱的概念串联整理成一体化是一件较不容易的事。但有时若细心观察，耐心琢磨，不断推敲，借助综合、归纳、分类等方法就会发现概念的相似规律，若把这些分散的概念条理化、结构化、系统化，则有利于学生整体理解、整体记忆、整体运用。如在《四边形》这一章中，牵涉到几种常见四边形的概念，而这些概念又都建立在平行四边形的基础上，所以教师可引导学生一起整理、归纳、理清这一章的脉络：四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形——梯形——等腰直角梯形。
三、培养学生对数学概念的应用意识
实际应用是概念教学的根本目的。只有让学生感受到学习的价值和意义，才能激发学生的学习欲望，才能让学生乐于参与学习活动。在概念教学中培养学生的应用意识，其实就是要让学生有意识地用所学概念解决生活中的问题。这样，既是对概念的巩固，也是培养学生能力与素质的重要环节。实际应用，促进了课堂教学的情境设置，也使学生理解了数学概念。例如，在讲“锐角三角函数”时，对于三角函数的概念，教师可以用实际生活中的例子来引导学生探究，提高学生的应用意识和实践能力。例如：测量旗杆的高度，学生除了想到用学过的相似三角形之外，还可以用刚学的锐角三角函数来解决。如仰角60°时，量得自己离旗杆底端12m，则可以得出旗杆大约高多少米？再次移动位置，量出与旗杆的距离和仰角的度数，用计算器计算后检查求得的结果是否相同，从而加深学生对正切概念的掌握与实际运用，使概念教学的实用性得到体现，学生在“学会”的基础上“会用”，激发了学生进一步学习的动力，使学生由“学会”到“会学”。这种学习过程的体验是美妙的。
总之，概念教学，不仅是为了让学生获得更多的知识与技能，更重要的是让学生积累经验和掌握方法。教师要让数学概念深入学生学习的全过程，使学生在自主学习与合作探究中深入把握数学本质。概念教学，既要突出量的积累，又要注重质的提升，在为学生创设丰富生活情境的前提下，让学生探究发现概念，提炼概念。“授之以鱼，不如授之以渔”，概念教学是数学教学的正本，也是我们教学所求的源头活水。
参考文献：
[1] 邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法，2009（7）.
[2] 周 华.浅谈初中数学概念的教学方法[J].中国科教创新导刊，2009（6）.
[3] 李晓云.概念教学中的“动场”建构刍议[J].中国数学教育，2009（7）.
（作者单位：安徽省合肥市肥东县第三中学 230000）
关键词：数学概念；内涵与外延；抽象；应用
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2018）07-0079
数学概念是数学理论的核心和精华，理解和掌握数学概念是提高教学质量和水平的关键。因此教学中要注意让学生在解决实际问题的过程中，理解概念的内涵和外延是先决条件，教学中应该采用有效的方法使学生进一步体会抽象的数学概念。然后让学生在认识、理解、体会概念的基础上进行概念的应用。
人类在认识过程中，把所感觉到的事物的共同特点抽象出来，加以概括，就成为概念。概念反映的是客观事物一般的、本质的特征。在数学教学中，数学概念是教学的核心内容之一，是新知识的起点，是逻辑推理的依据，是合理运算的保证。由于数学概念比较抽象，很难在短时间里讲清概念的内涵与外延，导致很多教师不重视概念教学。教师更喜欢在课堂上讲解各种典型例题，课下布置各样的经典试题让学生练习，教师希望通过精讲精练习题来达到巩固概念的目的。事实证明：只要求学生解习题，而不给学生讲透数学概念、实质问题，都是授之以鱼而不是授之以渔。因此笔者认为有必要正本求源，教师必须进行系统而又严肃的概念教学。学生只有了解概念才能进行正确的思维活动和判断与推理。下面，笔者结合教学实践谈谈在数学概念教学中的几点感悟。
一、让学生理解概念的内涵与外延
数学概念教学的重点是让学生把握概念的内涵与外延，只有这样，才能揭示概念的本质和关键，促使学生掌握概念。
1. 概念的内涵
数学概念的内涵其实就是概念的“质”，是事物的本质属性，也就是概念的根本。如有理数的内涵是：整数和分数（有限小数和无限循环小数）。
2. 概念的外延是概念的“量”
是指适合这个概念的一切对象。即这个概念的延用范围。如各种函数：一次函数、二次函数、反比例函数等都是函数这一概念的外延。
3. 概念的内涵与外延的关系
概念的内涵和外延既相互依赖又相互制约。还存在着“反变”的相依关系：内涵越多，外延就越小；内涵越少，外延就越大。如从三角形、直角三角形、等腰直角三角形的三种概念来分析，当它们的内涵越来越大，相反它们的外延就越来越小；反之它们的外延就越来越大。
明确了概念的内涵与外延，就等于把握住了概念的全部。内涵和外延是概念教学不可分割的两部分。只要揭示概念的内涵，就会涉及概念的外延。将两者相统一，才能使概念教学更加完美，从而提高学生的思维水平和数学素养。
二、让学生有效地掌握抽象的概念
数学概念都是从具体的实际问题中抽象出来的，因而具有高度的概括性和抽象性，学生较难理解。笔者认为要从这几个方面入手：
1. 借助图片、模型和多媒体等展示实物
学生对数学概念的理解要经历从表象到抽象、从直观到分析的发展过程。因此在教学中要重视概念的直观性和形象性，要充分利用好模型、图片、多媒体等手段帮助学生理解概念。例如：圆锥的侧面积和全面积是初中数学圆章节的拓展内容，这节内容包含了图形从平面向立体转化的重要思想，但由于学生对立体图形的了解十分有限且又缺乏足够的空间想象力，故对于圆锥的侧面积、母线、圆锥的高等概念理解有困难，这时如借助圆锥模型或采用多媒体教学，生动、形象地显示它们的构造及旋转情况，不仅可激发学生的兴趣，也可让学生通过观察联想到生活中的具体实例，两者相得益彰，既化解疑难，加深对概念的印象，又丰富了學生的想象，使抽象的数学概念与生活接近了一大步，在潜移默化中，学生的直觉思维也得以培养。
2. 借助旧概念，了解新概念形成的原因
从数学概念的特点可知，绝大多数的概念是建立在旧概念基础上的，能否有效建立起新概念与学生认识结构之间的有机联系，往往是新概念教学能否成功的关键。因此，教师可做一些铺垫来加强新旧概念之间的联系。例如：平面直角坐标系和函数是紧密相连、一脉相承的，由坐标系做铺垫，教师在通过表格、图像、数学表达式的展示，逐步引出函数的概念。再结合课本的例子，才可使学生对此概念形成初步印象。至于要学生真正理解函数概念，并不是一节课就能达到，需要今后通过学习各种具体的函数，才能逐步达到对函数有较深理解。
3. 引导学生用数学术语表达抽象的概念
众所周知，语言表达是概念学习过程中非常重要的环节。数学中各种结论的获得都要依靠逻辑推理，而数学语言表达能力直接影响逻辑推理的进行，当然也影响到数学概念的形成。教学中，由于前面已有了充分的感知和理解，故可试着让学生自己概括出各种抽象的概念，教师在此基础上进行修正、提升，再形成完整的、准确的概念。例如：反比例函数概念学习“抽象概括”活动设计：（1）思考课本“三个引例”中两个变量与常量的意义联系，并总结三者之间的共性；（2）观察上述“三个解析式”，从形式上看三者有什么共同特征？题后反思：①从本质上：两个变量的积不变（k≠0）；②从形式上：形如y=■（k≠0）的函数叫做反比例函数，常数k叫做比例系数，最后让学生自己概括反比例函数的概念。
4. 借助综合、归纳、分类形成概念体系
数学的本质不是纯理性的逻辑推演，而是通过归纳构筑在经验基础上的一门拟经验的科学。由于平时所学的概念比较分散、零乱，故要把杂乱的概念串联整理成一体化是一件较不容易的事。但有时若细心观察，耐心琢磨，不断推敲，借助综合、归纳、分类等方法就会发现概念的相似规律，若把这些分散的概念条理化、结构化、系统化，则有利于学生整体理解、整体记忆、整体运用。如在《四边形》这一章中，牵涉到几种常见四边形的概念，而这些概念又都建立在平行四边形的基础上，所以教师可引导学生一起整理、归纳、理清这一章的脉络：四边形——平行四边形——矩形——菱形——正方形——梯形——等腰直角梯形。
三、培养学生对数学概念的应用意识
实际应用是概念教学的根本目的。只有让学生感受到学习的价值和意义，才能激发学生的学习欲望，才能让学生乐于参与学习活动。在概念教学中培养学生的应用意识，其实就是要让学生有意识地用所学概念解决生活中的问题。这样，既是对概念的巩固，也是培养学生能力与素质的重要环节。实际应用，促进了课堂教学的情境设置，也使学生理解了数学概念。例如，在讲“锐角三角函数”时，对于三角函数的概念，教师可以用实际生活中的例子来引导学生探究，提高学生的应用意识和实践能力。例如：测量旗杆的高度，学生除了想到用学过的相似三角形之外，还可以用刚学的锐角三角函数来解决。如仰角60°时，量得自己离旗杆底端12m，则可以得出旗杆大约高多少米？再次移动位置，量出与旗杆的距离和仰角的度数，用计算器计算后检查求得的结果是否相同，从而加深学生对正切概念的掌握与实际运用，使概念教学的实用性得到体现，学生在“学会”的基础上“会用”，激发了学生进一步学习的动力，使学生由“学会”到“会学”。这种学习过程的体验是美妙的。
总之，概念教学，不仅是为了让学生获得更多的知识与技能，更重要的是让学生积累经验和掌握方法。教师要让数学概念深入学生学习的全过程，使学生在自主学习与合作探究中深入把握数学本质。概念教学，既要突出量的积累，又要注重质的提升，在为学生创设丰富生活情境的前提下，让学生探究发现概念，提炼概念。“授之以鱼，不如授之以渔”，概念教学是数学教学的正本，也是我们教学所求的源头活水。
参考文献：
[1] 邵光华，章建跃.数学概念的分类、特征及其教学探讨[J].课程·教材·教法，2009（7）.
[2] 周 华.浅谈初中数学概念的教学方法[J].中国科教创新导刊，2009（6）.
[3] 李晓云.概念教学中的“动场”建构刍议[J].中国数学教育，2009（7）.
（作者单位：安徽省合肥市肥东县第三中学 230000）