在极坐标系中,圆锥曲线有统一的极坐标方程.方程中极径就是圆锥曲线中的焦半径，由于其方程p=ep1-ecosθ中e和p都可以看成是圆锥曲线固有几何性质，因此可以看成是p关于θ的函数关系.在直角坐标系中，利用这个公式处理焦半径的问题时具有明显的优势.
　　一.圆锥曲线统一定义下的焦半径公式
　　 已知定直线l和定直线l外一点F,若动点P到定点F的距离与到定直线l的 距离之比是一个常数，则点P的轨迹是以点F为焦点，定直线l为准线的圆锥曲线如图，已知定直线L和直线L外一点F，设点F到直线L的距离为P,过点P作直线L的垂线，垂足为Q，做X轴的垂线，垂足为N.
　　设∠PFN=θ,
　　∵｜MN｜=｜MF｜+｜FN｜
　　 =p+｜PF｜cosθ
　　 ｜MN｜=｜PQ｜=｜PF｜cosθ
　　∴p+｜PF｜cosθ=｜P'F｜cosθ ｜PF｜=ep1-ecosθ
　　延长PF交圆锥曲线于点P',则同理可得｜PF｜=ep1+ecosθ
　　 我们把这个在直角坐标系下的公式称为以角θ为参数的圆锥曲线的统一定义下的焦半径公式，由于参数θ与y轴的位置没有关系，在涉及到过圆锥曲线的焦点的直线的有关问题时提供另一种解决视角，而且应用起来十分方便.
　　二，题型示例
　　性质1，过圆锥曲线的焦点倾斜角为θ的直线与圆锥曲线相交于A,B两点，则
　　 1 ｜AF｜+1 ｜BF｜ = 2ep
　　证明； 由上面的公式可知1 ｜AF｜+1 ｜BF｜=1-ecosθep+1+ecosθep=2ep
　　性质2，过圆锥曲线的焦点的直线与圆锥曲线相交于A,B两点，当AB为通径时 AB的长最小.
　　 证明；设AB的倾斜角为θ
　　则，｜AB｜=｜AF｜+｜BF｜=ep1-ecosθ+ep1+ecosθ=2ep1-e2cos2θ
　　当θ=90时，即｜AB｜为通径时，｜AB｜min=2ep
　　性质3，过圆锥曲线的焦点倾斜角为θ的直线与圆锥曲线相交于A,B两点，M为与焦点F对应的准线与圆锥曲线对称轴的焦点，
　　则.SMAB=ep2sinθ1-e2cos2θ
　　 (1).若圆锥曲线为抛物线时，则当θ=90时，
　　SMAB｜min=p2
　　 (2).若圆锥曲线为椭圆时:
　　当0当 e>2 2 时，SMAN｜max=p221-e2
　　 (3).若圆锥曲线为双曲线时:
　　则当θ=90时，SMAB｜min=ep2
　　证明； SMAB=SMAF+SMBF =12｜MF｜•｜AF｜•sinθ+12｜MF｜•｜BF｜sinθ=12｜MF｜•｜AB｜sinθ=12p•2epsinθ1-e2cos2θ=ep2sinθ1-e2cos2θ
　　 （1）若圆锥曲线为抛物线时，e=1,SMAB=ep2sinθ1-e2cos2θ=p2sinθ
　　 则当θ=90时， SMAB｜min=p2
　　 (2)若圆锥曲线为椭圆时,SMAB=ep2sinθ1-e2cos2θ=ep2e2sinθ+1-e2sinθ
　　当0 SMAB｜max=ep2
　　当e>2 2时，1-e2e2<1 ，当sinθ=1-e2e 时，
　　 SMAN｜max=p221-e2
　　性质4，过圆锥曲线的焦点的直线与圆锥曲线相交于A,B两点，若｜AF｜｜BF｜ =λ
　　 则（1）ecosθ = λ-1λ+1（2）｜AB｜ =2P1-(1-λ1+λ)2
　　性质5，过椭圆x2a2+y2b2=1的焦点倾斜角为θ的直线与椭圆相交于A,B两点，椭圆的离心率是e,
　　 (1).当A,B两点在y轴的同侧时，e>｜cosθ ｜
　　 (2).当A,B两点在y轴的异侧时，e<｜cosθ ｜
　　证明；当A,B两点在y轴的同侧时，｜AF｜　　∵｜AF｜=ep1-ecosθ =b2a1-ecosθ ，易得e>cosθ
　　｜BF｜=ep1+ecosθ =b2a1+ecosθ >a，易得e>-cosθ
　　∴ e> ｜cosθ｜
　　性质6，过双曲线x2a2-y2b2=1的焦点倾斜角为θ 的直线与圆锥曲线相交于A,B两点，双曲线的离心率是e,
　　 (3).当A,B两点在双曲线的同支上时，e<1｜cosθ｜
　　 (4).当A,B两点在双曲线的异支上时，e>1｜cosθ｜
　　证明；当A,B两点在双曲线的同支上时 ，直线AB的倾斜角与渐近线的倾斜角的关系可知｜tanθ｜ >ba tan2θ>b2a21+sin2θcos2θ >1+b2a21cos2θ >1e2 e<1｜cosθ｜
　　 同理 当A,B两点在双曲线的异支上时 e>1｜cosθ｜
　　例1，已知倾斜角为60的直线l过椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点F与椭圆和y轴分别相交于点 M,A,若M是线段FA的中点，求椭圆的离心率.
　　 解, ∵ ｜FA｜=2c∴ ｜MF｜=ep1-ecosθ =c
　　 在椭圆中 p= b2c 把p= b2c，θ=60代入ep1-ecosθ =c并化简 得，e2+2e-2=0解得e=3-1
　　（变式）已知倾斜角为60的直线l过双曲线x2a2-y2b2=1的右焦点F与和y轴分别相交于点 M,A,若M是线段FA的中点，求双曲线的离心率.
　　(答案3 +1）
　　例2,已知倾斜角为60的直线l过椭圆x2a2+y2b2=1的右焦点F与椭圆相交于A,B两点
　　 （1）若｜AF｜=53｜FB｜，求椭圆的离心率.
　　 （2）若｜AB｜ =4815.求椭圆方程
　　解，（1）由 ｜AF｜ =ep1-ecosθ,｜BF｜ =ep1+ecosθ,｜AF｜=53｜FB｜,
　　得ep1-ecosθ=53ep1+ecosθe=12
　　（2）由｜AB｜= ｜AF｜+ ｜BF｜ =ep1-ecosθ+ep1+ecosθ=2ep1-e2cos2θ=16b215c=4815 b2=3c.又e=ca =12 ,a2=b2+c2解得a=2,b=3
　　 故椭圆方程为 x24+y23 =1
　　（变式）已知倾斜角为60直线l过椭圆x2a2+y2b2=1的焦点F与椭圆相交于A,B两点，
　　 （1）若｜AF｜=2 ｜FB｜ 求椭圆的离心率.
　　 （2）若｜AB｜= 154 .求椭圆方程
　　 （答案e=23 ， x29+y25=1 ）
　　例3,已知倾斜角为θ直线l过椭圆x24+y23=1 的焦点F与椭圆相交于A,B两点，O是坐标原点，求三角形OAB面积的最大值.
　　解: SOAB=SOAF+SOBF=12 ｜OF｜•｜AF｜•sinθ+12 ｜OF｜•｜BF｜•sinθ=12 ｜OF｜•｜AB｜•sinθ=12c•2epsinθ1-e2cos2θ =ecpsinθ1-e2cos2θ=6sinθ3+sin2θ=6sinθ+3sinθ
　　 当 θ=π2 时SOAB｜max=32
　　(变式1）已知倾斜角为θ直线l过椭圆x24+y2=1 的焦点F与椭圆相交于A,B两点，O是坐标原点，求三角形OAB面积的最大值.
　　 （答案:当sinθ=3 3时 SOAB｜max=1）
　　（变式2）已知F是椭圆x24+y23=1 右焦点，P是椭圆上任意一点，O是坐标原点，当｜PF｜=2时，求三角形OPF的面积。
　　（答案: 32 ）
　　例4，已知双曲线x28-y24=1 的右焦点是F，过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点，求直线的倾斜角的取值范围。
　　解，过点F的直线与双曲线右支有且只有一个交点时，由直线倾斜角与渐近线的倾斜角的关系:
　　 ｜tanθ｜ >ba tan2θb2a21+sin2θcos2θ1+b2a21cos2θ1e2｜cosθ｜ e
　　 即 ｜cosθ｜  12
　　 ∵θ∈[0,π）∴θ∈[0,π3 ]∪[2π3,π）
　　（变式）已知倾斜角为60直线l 过双曲线x2a2-y2b2=1 的右焦点F与双曲线右支有且只有一个交点，求双曲线离心率的取值范围。
　　 （答案: e2）
　　例5，设F1,F2是椭圆x23+y22 =1的左右焦点，过F1,F2分别作两条互相垂直的直线分别与椭圆相交于B,D和A,C。求四边形ABCD面积的最小值。
　　解， 设直线BD的倾斜角为:
　　 θ(0<θ<π2），
　　 则直线AC的倾斜角为π2+θ
　　 则 ｜BD｜ = 2ep1-e2cos2θ
　　 ｜AC｜= 2ep1-e2cos2(θ+π2 ) =2ep1-e2sin2θ
　　 把e=ca=33 , p=b2c =2 代入得:
　　 ｜BD｜= 43 3-cos2θ , ｜AC｜= 43 3+sin2θ
　　 所以，S四边形ABCD = 12 ｜BD｜ • ｜AC｜=486+14sin22θ
　　 当θ=π4时， S四边形ABCD ｜min =19225
　　（变式）过抛物线y2=4x的焦点分别作两条互相垂直的直线分别与抛物线相交与B,D和 A,C,求四边形ABCD面积的最小值
　　 （ 答案:当θ=π4时，S四边形ABCD ｜min =32）
　　 作者简介：李迎春，中学高级教师， 1988年毕业于江西师范大学数学系，25年一直从事教育教学工作，多年从事实验班的数学教学，具有丰富的教育教学经验。