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[摘要]同一内容,根据其发生、发展及应用的不同阶段,应有不同的教学设计来引导和促进学生的学习、理解和技能的形成.
[关键词]教学设计;绝对值;函数;问题
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2018)05001703
绝对值是中学数学的一个重要概念,它既有代数形式,又有几何背景.“含有|x-a|的一类函数问题”形式新颖、综合性强、思维难度大,要求学生不仅能深刻理解题意,还必须具备较好的逻辑推理能力和充足的思想方法储备.而这些要求不是一蹴而就的,它需要一个过程.需要经过两轮的复习课教学,方可达到基础知识的认知、基本方法的构建、基本思想的渗透,并在此基础上完成一系列的应用的目标.
一、设计原则
1.教学目标的设定要有层次性
就“含有|x-a|的一类函数问题”,我们在第一轮、第二轮复习两个阶段组织不同教学目标的微专题教学.复习要循序渐进,按照第一轮复习注重知识网络构建和基本方法构建,第二轮复习重应用和能力培养的原则进行整体设计.
2.例题的选择要有发展性
(1)含有|x-a|的一类函数解析式要尽量全面,便于学生对这类函数的认知.如
f(x)=x2 |x-1|、f(x)=x|x-2|
等.同时,无论是依据定义去绝对值还是依据几何意义去绝对值,都要有展示的空间.
(2)问题设计要尽量全面,便于学生对问题解决的基本方法感悟和提炼,便于学生在解决问题过程中思想方法的自然形成.
(3)问题的设计既要有利于学生独立思考,又能促使学生探究交流.
(4)例题难度要递进.
3.课后作业要有针对性
专题课的作业一定要有针对性,坚持讲什么,练什么.例题中归纳总结出什么方法,作业中的题目就要用到什么方法.让学生在巩固中理解、体会、提高.
4.知识结构的把握要有整体性
同一内容要有一个整体的目标和要求.依据学生的学习能力和认知规律,在不同阶段的教学中分层次逐步达成.不同阶段的教学目标和要求要为总的目标和要求服务,是总目标中的有机组成部分,要有层次性和连续性.
二、具体内容
【第一轮复习】
(一)教学目标
1.通过对问题的呈现与思考,认知含有|x-a|的一类函数的本质,形成初步的知识网络.
2.通过对问题的探索与解决,构建问题解决的基本思路与基本方法,培养学生解决此类问题的能力.
3.通過对问题的回顾与反思,体会分类讨论与数形结合等数学思想方法的形成与应用,培养学生分析和解决问题的能力,提升学生的数学核心素养.
(二)课前预习
1.求函数f(x)=x2 |x-1|的最小值.
2.已知函数f(x)=x|x-2|,求:
(1)函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈
12,1 72
时,f(x)的值域;
(3)当x∈
12,a
时,求f(x)的最大值.
设计意图:
1.通过两个问题的解决,使学生明确此类|x-a|函数的本质就是分段函数,而且每一段都是二次函数.这就为学生自觉运用函数图像解决问题奠定了基础(分别依据二次函数的零点式、一般式、顶点式作图,可以采集不同的信息).
2.通过问题的解决,使学生明确此类函数的基本问题是研究函数的单调性,进而解决函数的最值或值域问题.
3.注重思想方法的自然形成.第2题的第(3)问在第(2)问的基础上思考完成,为分类讨论方法的使用提供了载体.
4.注重学生数学素养的培养.第2题第(2)问中,0和2是函数f(x)的零点,直线x=1是函数f(x)=x(x-2)的对称轴.因此,考查f(x)在区间
12,1 72
上的单调性时,左端点12不难确定,对于右端点
1 72
,就需要一定的思考和分析.1 72>2,并且f
1 72
=
f12
,需要不断地调整,这种能力就是素养.第2题第
(3)问中,由于f(1 2)=f(1)
,利用第(2)问中的思路,
分为x=1,x=2,x=1 2,对a的值进行讨论,从而确定函数f(x)在区间
12,a
上的单调性.这种依据图像直观,结合函数图像上的节点,形成的讨论就是具备数学核心素养的表现.
反思提炼:
1.我们研究了哪一类函数的问题?
——含有|x-a|的一类函数的问题.
2.这类问题的本质是什么?
——分段函数,而且每一段都是二次函数,它属于基本函数.
3.我们研究了这类函数的什么问题?
——求单调区间和最大(小)值、值域问题(其实就是研究函数的单调性,函数的最大(小)值或是值域都要依托单调性来求解),这些问题都是函数最常见的问题.
4.解决问题的过程中,我们都分别用到了什么方法?
——数形结合、分类讨论的思想方法.
二次函数的单调区间往往通过其图像来获得.二次函数作图过程中,一般式可以考查确定开口方向和纵轴截距;顶点式可以考查确定对称轴和顶点纵坐标;零点式可以考查确定图像与x的两个交点.
(三)典型例题
两个预习题目所呈现的是含有|x-a|的函数中比较重要的、基本的模型和典型性问题,含有丰富的数学思想方法和较高的能力要求.因此,我们有必要在此基础上再做深入细致的思考和研究. 【例1】已知函数
f(x)=x|x-a|,
(1)求函数的单调区间;
(2)记函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.
设计意图:
1.第(1)问中类比课前预习中的2,依托二次函数零点式作图,确定不同情形下函数的单调区间.
2.第(2)问中一方面利用第(1)问中的图形,针对函数f(x)在区间[0,2]上的单调性展开讨论,确定最大值;另一方面,也可以利用|x-a|的几何意义,分a<0、0≤a≤2和a>2去掉绝对值,化简函数后再确定函数f(x)在区间[0,2]上的单调性.
3.第(2)问还需二次讨论,培养学生的逻辑能力和对综合问题的把握能力.
【例2】设a∈R,函数f(x)=2x2 (x-a)|x-a|,求f(x)的最小值.
f(x)=
3x2-2ax a2,x≥a
x2 2ax-a2,x 即
f(x)=
3(x-a3)2 23a2,x≥a
(x a)2-2a2,x 设计意图:
1.在例1形成的新认知结构基础(每段二次函数的二次项不同,常数项均不为零,两段函数的相关性不强)上,进一步检查学生对此类问题解决方法的掌握情况.通过学生交流及教师的引导,使学生及时进行辨析对比较、矫正确认.
2.对两段函数作图时,能够依据对称轴展开讨论,就是有素养的表现.同时,作图过程中“衔接点”的把握也是关键点.
课堂小结:什么函数?什么问题?什么方法?(具体略)
用图体会:图“不动”,区间端点“动”.
【
第二轮复习】
(一)教学目标
1.通过在函数解析式中设置参数,增大问题考查的广度和深度.
2.通过问题的逆向考查,加深学生对知识和方法的理解,培养学生的逻辑思维能力.
3.围绕函数的零点、恒成立等问题,培养学生以含有|x-a|的函数为载体的应用意识和应用能力.
(二)课前预习
1.已知函数f(x)=x|x-2|-a有三个零点,则实数a的取值范围为.
2.若不等式x2 |x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为.
3.若函数f(x)=x|x-a|在区间[2, ∞)上单调递增,则求实数a的取值范围.
设计意图:
1.回顾函数|x-a|零点问题的相关处理方法——转化法[函数f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=h(x)與函数y=φ(x)图像的交点].
2.回顾恒成立问题的两类基本方法(最值法和参变量分离法).
3.增加问题的逆向考查,加深学生对知识和方法的理解,培养学生的逻辑思维能力.
4.增加应用的成分,增强问题的综合性,增加考查强度.
方法提炼:
1.零点、恒成立问题常规的处理方法.
2.在一轮复习基础上,强化用图意识(区间端点“2”动,图不动).
(三)典型例题
【例1】已知函数f(x)=x|x-a|.设a≠0,若f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值,分别求出m,n的取值范围(用a表示).
设计意图:引导学生在一轮复习中例2的基础上进行思考(思维和方法的连续性,提高复习效率).学生受初中知识方法的影响,往往第一感觉就是考虑端点值的代入.我们设计成开区间的形式,就会促使学生进行新的思考.函数f(x)在区间(m,n)上肯定不会单调,那么,最大值(最高点)、最小值(最低点)必在区间(m,n)内部.
此题增强了学生的用图意识,培养了学生的逻辑思维能力,又为后面学习函数的极值奠定了基础.
【例2】已知函f(x)=|x|(x-2).
(1)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间-1,12
上的最大值.
设计意图:
在含有|x-a|的函数的问题处理上,进一步夯实学生的基本功,培养学生的数学核心素养.在确定函数在区间-1,12中,需要分类讨论,关键点是确定分类讨论的标准,是依托区间端点“-1”进行,还是依托端点“12”进行,不是特别明确,需要学生分析思考,要逐步摸索,不断调整,这就是能力的体现.在最大值的确定上,还要进行二次讨论.
【例3】已知关于x方程|x-a|x=a有三个不同的根,求实数a的取值范围.
设计意图:
在知识纵向延伸的基础上再向横向拓展,围绕方程有根问题的诸多处理方法,突出、强化对含有|x-a|的函数问题的常用方法(图像法)的应用.
【例4】已知函数f(x)=x|x-a|-2,当x∈[0,2]时,
f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
设计意图:
通过恒成立这种问题形式,使学生分析思考解决的方式:可以直接求f(x)max(一轮复习中的例1),这正是本专题复习的效果所在.也可以进行参变量分离处理.
本课小结:
哪些知识?哪些方法?哪些应用?问题和思路梳理!(具体略)
三、教学设计分析
同一内容,根据其发生、发展及应用的不同阶段,应有不同的教学设计来引导和促进学生的学习、理解和技能的形成.这种教学设计,是发挥学生学习、教师教学和知识发生、发展这三个过程作用的一种教学框架.它使学生能够积极动脑、动手、动口参与知识和方法的形成的过程(即生长过程).因而,教师传授(即学生获取)信息、知识的同时,也培养了学生(学生自我发展)创造知识的能力,提高了学生(学生自我增进)的技能.也就是说,通过科学的设计,使教师的教学过程、学生的学习过程统一于师生共同参与研究、讨论、探索、发现的过程.这是一个获取知识、发展思维、训练技能三位一体的过程,是知识和能力相结合的过程.
(责任编辑黄桂坚)
[关键词]教学设计;绝对值;函数;问题
[中图分类号]G633.6[文献标识码]A[文章编号]16746058(2018)05001703
绝对值是中学数学的一个重要概念,它既有代数形式,又有几何背景.“含有|x-a|的一类函数问题”形式新颖、综合性强、思维难度大,要求学生不仅能深刻理解题意,还必须具备较好的逻辑推理能力和充足的思想方法储备.而这些要求不是一蹴而就的,它需要一个过程.需要经过两轮的复习课教学,方可达到基础知识的认知、基本方法的构建、基本思想的渗透,并在此基础上完成一系列的应用的目标.
一、设计原则
1.教学目标的设定要有层次性
就“含有|x-a|的一类函数问题”,我们在第一轮、第二轮复习两个阶段组织不同教学目标的微专题教学.复习要循序渐进,按照第一轮复习注重知识网络构建和基本方法构建,第二轮复习重应用和能力培养的原则进行整体设计.
2.例题的选择要有发展性
(1)含有|x-a|的一类函数解析式要尽量全面,便于学生对这类函数的认知.如
f(x)=x2 |x-1|、f(x)=x|x-2|
等.同时,无论是依据定义去绝对值还是依据几何意义去绝对值,都要有展示的空间.
(2)问题设计要尽量全面,便于学生对问题解决的基本方法感悟和提炼,便于学生在解决问题过程中思想方法的自然形成.
(3)问题的设计既要有利于学生独立思考,又能促使学生探究交流.
(4)例题难度要递进.
3.课后作业要有针对性
专题课的作业一定要有针对性,坚持讲什么,练什么.例题中归纳总结出什么方法,作业中的题目就要用到什么方法.让学生在巩固中理解、体会、提高.
4.知识结构的把握要有整体性
同一内容要有一个整体的目标和要求.依据学生的学习能力和认知规律,在不同阶段的教学中分层次逐步达成.不同阶段的教学目标和要求要为总的目标和要求服务,是总目标中的有机组成部分,要有层次性和连续性.
二、具体内容
【第一轮复习】
(一)教学目标
1.通过对问题的呈现与思考,认知含有|x-a|的一类函数的本质,形成初步的知识网络.
2.通过对问题的探索与解决,构建问题解决的基本思路与基本方法,培养学生解决此类问题的能力.
3.通過对问题的回顾与反思,体会分类讨论与数形结合等数学思想方法的形成与应用,培养学生分析和解决问题的能力,提升学生的数学核心素养.
(二)课前预习
1.求函数f(x)=x2 |x-1|的最小值.
2.已知函数f(x)=x|x-2|,求:
(1)函数f(x)的单调区间;
(2)当x∈
12,1 72
时,f(x)的值域;
(3)当x∈
12,a
时,求f(x)的最大值.
设计意图:
1.通过两个问题的解决,使学生明确此类|x-a|函数的本质就是分段函数,而且每一段都是二次函数.这就为学生自觉运用函数图像解决问题奠定了基础(分别依据二次函数的零点式、一般式、顶点式作图,可以采集不同的信息).
2.通过问题的解决,使学生明确此类函数的基本问题是研究函数的单调性,进而解决函数的最值或值域问题.
3.注重思想方法的自然形成.第2题的第(3)问在第(2)问的基础上思考完成,为分类讨论方法的使用提供了载体.
4.注重学生数学素养的培养.第2题第(2)问中,0和2是函数f(x)的零点,直线x=1是函数f(x)=x(x-2)的对称轴.因此,考查f(x)在区间
12,1 72
上的单调性时,左端点12不难确定,对于右端点
1 72
,就需要一定的思考和分析.1 72>2,并且f
1 72
=
f12
,需要不断地调整,这种能力就是素养.第2题第
(3)问中,由于f(1 2)=f(1)
,利用第(2)问中的思路,
分为x=1,x=2,x=1 2,对a的值进行讨论,从而确定函数f(x)在区间
12,a
上的单调性.这种依据图像直观,结合函数图像上的节点,形成的讨论就是具备数学核心素养的表现.
反思提炼:
1.我们研究了哪一类函数的问题?
——含有|x-a|的一类函数的问题.
2.这类问题的本质是什么?
——分段函数,而且每一段都是二次函数,它属于基本函数.
3.我们研究了这类函数的什么问题?
——求单调区间和最大(小)值、值域问题(其实就是研究函数的单调性,函数的最大(小)值或是值域都要依托单调性来求解),这些问题都是函数最常见的问题.
4.解决问题的过程中,我们都分别用到了什么方法?
——数形结合、分类讨论的思想方法.
二次函数的单调区间往往通过其图像来获得.二次函数作图过程中,一般式可以考查确定开口方向和纵轴截距;顶点式可以考查确定对称轴和顶点纵坐标;零点式可以考查确定图像与x的两个交点.
(三)典型例题
两个预习题目所呈现的是含有|x-a|的函数中比较重要的、基本的模型和典型性问题,含有丰富的数学思想方法和较高的能力要求.因此,我们有必要在此基础上再做深入细致的思考和研究. 【例1】已知函数
f(x)=x|x-a|,
(1)求函数的单调区间;
(2)记函数f(x)在区间[0,2]上的最大值为F(a),求F(a)的表达式.
设计意图:
1.第(1)问中类比课前预习中的2,依托二次函数零点式作图,确定不同情形下函数的单调区间.
2.第(2)问中一方面利用第(1)问中的图形,针对函数f(x)在区间[0,2]上的单调性展开讨论,确定最大值;另一方面,也可以利用|x-a|的几何意义,分a<0、0≤a≤2和a>2去掉绝对值,化简函数后再确定函数f(x)在区间[0,2]上的单调性.
3.第(2)问还需二次讨论,培养学生的逻辑能力和对综合问题的把握能力.
【例2】设a∈R,函数f(x)=2x2 (x-a)|x-a|,求f(x)的最小值.
f(x)=
3x2-2ax a2,x≥a
x2 2ax-a2,x 即
f(x)=
3(x-a3)2 23a2,x≥a
(x a)2-2a2,x
1.在例1形成的新认知结构基础(每段二次函数的二次项不同,常数项均不为零,两段函数的相关性不强)上,进一步检查学生对此类问题解决方法的掌握情况.通过学生交流及教师的引导,使学生及时进行辨析对比较、矫正确认.
2.对两段函数作图时,能够依据对称轴展开讨论,就是有素养的表现.同时,作图过程中“衔接点”的把握也是关键点.
课堂小结:什么函数?什么问题?什么方法?(具体略)
用图体会:图“不动”,区间端点“动”.
【
第二轮复习】
(一)教学目标
1.通过在函数解析式中设置参数,增大问题考查的广度和深度.
2.通过问题的逆向考查,加深学生对知识和方法的理解,培养学生的逻辑思维能力.
3.围绕函数的零点、恒成立等问题,培养学生以含有|x-a|的函数为载体的应用意识和应用能力.
(二)课前预习
1.已知函数f(x)=x|x-2|-a有三个零点,则实数a的取值范围为.
2.若不等式x2 |x-1|≥a恒成立,则实数a的取值范围为.
3.若函数f(x)=x|x-a|在区间[2, ∞)上单调递增,则求实数a的取值范围.
设计意图:
1.回顾函数|x-a|零点问题的相关处理方法——转化法[函数f(x)的零点、方程f(x)=0的根、函数y=h(x)與函数y=φ(x)图像的交点].
2.回顾恒成立问题的两类基本方法(最值法和参变量分离法).
3.增加问题的逆向考查,加深学生对知识和方法的理解,培养学生的逻辑思维能力.
4.增加应用的成分,增强问题的综合性,增加考查强度.
方法提炼:
1.零点、恒成立问题常规的处理方法.
2.在一轮复习基础上,强化用图意识(区间端点“2”动,图不动).
(三)典型例题
【例1】已知函数f(x)=x|x-a|.设a≠0,若f(x)在区间(m,n)上既有最大值又有最小值,分别求出m,n的取值范围(用a表示).
设计意图:引导学生在一轮复习中例2的基础上进行思考(思维和方法的连续性,提高复习效率).学生受初中知识方法的影响,往往第一感觉就是考虑端点值的代入.我们设计成开区间的形式,就会促使学生进行新的思考.函数f(x)在区间(m,n)上肯定不会单调,那么,最大值(最高点)、最小值(最低点)必在区间(m,n)内部.
此题增强了学生的用图意识,培养了学生的逻辑思维能力,又为后面学习函数的极值奠定了基础.
【例2】已知函f(x)=|x|(x-2).
(1)当a≤0时,求函数f(x)的单调区间;
(2)在(1)的条件下,求函数f(x)在区间-1,12
上的最大值.
设计意图:
在含有|x-a|的函数的问题处理上,进一步夯实学生的基本功,培养学生的数学核心素养.在确定函数在区间-1,12中,需要分类讨论,关键点是确定分类讨论的标准,是依托区间端点“-1”进行,还是依托端点“12”进行,不是特别明确,需要学生分析思考,要逐步摸索,不断调整,这就是能力的体现.在最大值的确定上,还要进行二次讨论.
【例3】已知关于x方程|x-a|x=a有三个不同的根,求实数a的取值范围.
设计意图:
在知识纵向延伸的基础上再向横向拓展,围绕方程有根问题的诸多处理方法,突出、强化对含有|x-a|的函数问题的常用方法(图像法)的应用.
【例4】已知函数f(x)=x|x-a|-2,当x∈[0,2]时,
f(x)<0恒成立,求实数a的取值范围.
设计意图:
通过恒成立这种问题形式,使学生分析思考解决的方式:可以直接求f(x)max(一轮复习中的例1),这正是本专题复习的效果所在.也可以进行参变量分离处理.
本课小结:
哪些知识?哪些方法?哪些应用?问题和思路梳理!(具体略)
三、教学设计分析
同一内容,根据其发生、发展及应用的不同阶段,应有不同的教学设计来引导和促进学生的学习、理解和技能的形成.这种教学设计,是发挥学生学习、教师教学和知识发生、发展这三个过程作用的一种教学框架.它使学生能够积极动脑、动手、动口参与知识和方法的形成的过程(即生长过程).因而,教师传授(即学生获取)信息、知识的同时,也培养了学生(学生自我发展)创造知识的能力,提高了学生(学生自我增进)的技能.也就是说,通过科学的设计,使教师的教学过程、学生的学习过程统一于师生共同参与研究、讨论、探索、发现的过程.这是一个获取知识、发展思维、训练技能三位一体的过程,是知识和能力相结合的过程.
(责任编辑黄桂坚)