【摘要】：通过对分段函数在分段点性态的讨论,给出了判定函数在分段点导数是否存在的方法,并得出一般性结论.
　　关键词：分段函数连续性可导性
　　 各种教材和指导书在研究分段函数在分段点的连续及可导时，都是国家函数在一点连续及可导的定义或充要条件（即在在连续 ；在可导 ，笔者在此针对一类对较特殊的分段函数给出两个结论，这个两个结论对研究这类分段函数在分段点的连续及可导有所帮助，既方便实用，又简单可行，避免了用定义的繁琐和难度。
　　
　　 定理1：设= ，为初等函数，定义在区间D1上，<
　　
　　定义在区间D2上，，则，连续 =
　　证：∵
　　=
　　∴
　　∴在连续
　　）∵在连续
　　∴
　　 而
　　
　　∴
　　
　　
　　
　　例1：已知 ，讨论在处的连续性
　　 >0
　　 解：∵（=1， =1，∴=
　　 ∴在x=0处连续
　　 x<0
　　 例2：设=，向A取什么值函数在x=0连续？
　　 A+2
　　 解：∵=1， （A+2）=A+2
　　 由在x=0连续得A+2=1
　　 ∴ A= —1
　　 ∴ 当A= —1时，在x=0处连续
　　 ，
　　 定理2：设函数=，，可导的为初等函数定
　　 ，<
　　 义在D1上，定义在D2上，，则：在可导，
　　 ，且或（）
　　 证明：）∵
　　 =
　　 =
　　
　　 =
　　 =
　　 =
　　 而
　　 ∴
　　 ∴在可导，且（或）
　　 ）∵在可导
　　 ∴在连续
　　 由定理1得
　　 这时按照充分性的证明得
　　 ∴在可得
　　 ∴
　　 从而
　　 例3：讨论下面函数在分段点的可导性，如果可导求出导数
　　 Sinx， x≤0 ，x≤0
　　 （1）= （2）=
　　 x， x>0 2-x，x>1
　　 >1） x>1
　　 （3）= x3 0≤x≤1
　　 0 x<0
　　 解：（1）∵sinx=0 x=0
　　 ∴sinx= x
　　 又∵（sinx）/ =comx=1
　　 （x）/=（+x）=1
　　 ∴（sinx）/ = （x）/
　　 ∴在x=0可导，
　　 （2） ∵=1，（2-x）=1
　　 ∴=（2-x）
　　 又∵（）/=[-=-1
　　 （2-x）/=-1
　　 ∴在x=1可导，
　　 （3） ∵=（>1）
　　 ∴≠x3
　　 ∴在x=1不可导
　　 又∵x3=0， 0=0
　　 （x3）/=3x2=0， （0）/=0
　　 ∴在x=0可导，
　　 X2（x≥0）
　　 例4：設=在点x=0处可导，求之值及导数
　　 <0）
　　 解：∵在x=0可导
　　 ∴x2=（
　　 ∴
　　 且=（ x2）/=0
　　作者简介：
　　 姓名：彭丽娟 女 研究生/硕士中级研究方向：数学教育类。
　　
　　注：文章内所有公式及图表请以PDF形式查看。