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【摘要】笔者结合自己开设的一节市级公开课《折纸与证明》数学活动课设计过程，重点从目标制定和活动设计两个方面结合教材、学情进行重点分析，努力对“如何开展数学活动的有效设计？”展开深入思考，意在引发大家重视“数学活动”，增强对“数学活动课有效性及策略”的研究。笔者结合自己开课的效果，在优化目标、优化活动设计、优化互动生成、多媒体合理使用等方面进行了反思，希望对数学活动的设计提供借鉴。
【关键词】数学活动课 教学设计 反思
《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出：“数学教学是数学活动的教学。”“数学活动是学生经历数学化过程的活动。”相应地，“数学活动”也走进了各种版本的实验教材。以苏科版义务教育课程标准实验教科书为例，各章结束时都安排“数学活动”这一教学内容，设置的目的在于培养学生综合运用章节知识及方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。但鉴于“数学活动”内容设置较少、较开放，对教师的课堂设计及组织能力都提出了挑战，现实状况是很多学校都跳过“数学活动”教学。
笔者结合自己开设的一节市级公开课——苏科版九年级上第一章数学活动课《折纸与证明》，谈谈自己对数学活动课的设计和反思。
一、案例实施背景
2009—2010学年度第一学期第五周，南京市初三数学中心组研讨活动在第十三中学红山校区开展，笔者选择苏科版九年级（上）第一章数学活动《折纸与证明》开设公开课，通过对本节开放型课型的活动展示，笔者希望抛砖引玉，激发大家更深层次思考。开课班级是笔者所教的班级，班级中数学优秀生、中等生居多，后进生较少。
二、案例主题分析与设计
本节课是苏科版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（上册）第一章图形与证明（二）的最后一课，教材将本节课的内容安排在图形与证明（一）、（二）学完后，既说明本节课的折纸活动是前两章知识的综合应用，又说明证明的过程是操作活动的理论依据，从而进一步让学生认识到证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。本节课以“折一折？说一说”，“折一折？写一写”，“折一折？用一用”设计教学环节，折纸活动由简单到复杂，说理要求循序渐进，并在活动中激发学生认真思考、积极探索、主动发现问题，并从问题中归纳出折纸问题中蕴含的数学知识和解决折纸问题的一般方法，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。
三、案例细节分析
1.目标定位。（1）从教材的角度。本节内容在教材中安排在“图形与证明（一）、（二）”学完后，意在突出从数学理论的角度，即用证明的方法来说明折纸活动的合理性，同时体现了本章在认知过程中想要突显的两种认知方法间重要的辩证关系：观察操作丰富了我们对图形的认识和感受；学习证明以利于我们有条理的思考与表达，探索与证明都是获得结论的重要途径，它们相互依赖、相辅相成。再分析课题，“折纸与证明”包含两方面的含义：折纸活动是数学知识的应用并帮助学生加深对数学知识的理解，证明则说明折纸活动的合理性并激发学生从数学角度创新思考，解决问题。两者都要兼顾，若偏重于活动，让学生多说多动手，课堂虽然热闹，但如果不能从折纸活动中获得证明的思路，教学目标则未能达成，从这个角度看更偏重于证明。（2）从学生的角度。作为活动课，首先要让学生动起来，按照课本上活动组织学生活动，发现课本上活动间缺乏关联，设计方案预设，难以激发学生好奇心和创新意识，最后一个活动过于复杂，学生不易说理与目标达成，于是优化活动设计，保留用矩形折正方形，用正方形折边长与正方形边长相等的等边三角形两个活动，结合九年级的综合与实践，补充了书上的两个活动。试讲后发现，学生折纸能力较强，但说理能力却出人意料弱，出现以下问题：找不出折叠后可用于说理的条件；描述不准确；不会表述，认为理所当然等等。这表明教师高估了学生的说理水平，没有准确地把握学情，科学合理地确定重难点，应减少活动数量和时间，加强学生寻找解决折叠问题证明方法的探究。（3）从中考应试的角度。折叠问题是中考专题之一，每年的考试中都有一定的体现，2009江苏中考第29题，在解决第二问时，很多学生就弄错了折叠后的结论，从而导致证明的错误。类似的错误还可以找出很多，说明折叠的说理问题就是学生的一个薄弱环节，按照怎样的方法与步骤进行说理证明是学生的一个盲区。
通过几番斟酌，优化学习目标，将通过折纸活动探究归纳出解决折纸说理问题的一般解题步骤并学会解决实际问题作为本节课的重要目标，数学活动目标明确，针对性强，学生在活动中才能有所得。
2.活动确定。通过几次试讲，出现这样几种情况：活动时间太长，时间来不及；限制活动时间，理论性太强，又显得不是活动课。同时，活动间的关联与过渡不流畅、学生活动的方式与时间不合理。优化活动设计，教学活动由四个活动减少为三个活动，改编2009江苏中考29题将其变为活动三。在整体活动设计中，思考了以下五个方面的关系。（1）数学活动与数学思想的关系：活动既有数学思想方法的支撑，又是对知识与内容的升华。每一次活动结束都有设计方法的归纳与小结。（2）动嘴说与动手写的关系：数学活动教学是在数学领域内一定的思维活动、认识活动的教学。动嘴说和动手写是思维活动与认识活动的一种体现，两者在数学活动过程中要合理安排。会说并不代表会写或会规范思维，活动设计要留有学生书写反馈时间。本节课，活动一简单熟悉，活动后可以安排学生上台讲；活动二复杂且有思维深度，活动后可以安排学生独立写，并用PPT规范校正；活动三归纳应用，活动后安排学生按方法独立解决，并用展台展示学生多种解答。（3）活动与活动之间的关联与过渡：活动与活动间以主线相串，环环相扣、由浅入深，以激发学生求知欲和好奇心。课本上活动方案是呈现型的，缺少神秘感，难度设计从易到难，但不能体现活动间的关联与递进生成。优化问题设计，活动一设计为“你会用一张矩形制片折成一个正方形吗？”；活动二设计为“你能用你刚刚折成的正方形折出边长与之等边长的等边三角形吗？” 活动三设计为“将正方形纸片换成一个三角形纸片，你会折出等腰三角形吗？”活动设计兼顾分层教学：问题二想不出的学生按课本方法折，对于高层次学生老师可以追问“你是怎样思考这种折叠方案的？”；问题二对于层次高的同学，则可布置任务“用刚才的三角形的纸片，你还能折出菱形及其他图形吗？”。（4）独立思考与合作学习的关系：活动化彰显的主要是群体活动，诸如合作交流等，缺少独立思考的个体活动。活动课若只让学生合作交流，而不让学生独立思考，课堂显得热闹，但却浪费了学生有效的课堂学习时间，一部分学生课堂达成率也大打折扣。本节课设计始终在活动、思考、说理中循环，在活动中优化互动生成、优化自主体验。简单的活动自己做、自己写，如活动一；较难的问题三人小组合作完成，如活动二，先思考‘再合作’再矫正。探究折叠前后不变的位置关系与数量关系，是学生的薄弱环节，学生不知从什么角度考虑，对于该易错点，不急于抛给学生，注重互动生成，学生先写，展台显现问题，师生共同探究思考的角度，顺其自然生成出寻找折叠结论的五个角度：角、线段、图形、折痕、折叠前后不变的位置关系；探究解决折叠问题的一般步骤，同样注重互动生成。根据轴对称知识，从五个角度找到了关系，特别是问题二中出现了折痕，折痕垂直平分对应点的连线段，是学生遗忘点，借助教具，让学生回忆、思考、理解，突破难点，让学生再思考，条件找出后怎样进行说理，学生顺其自然生成出说理证明的一般步骤：分析选择条件、用数学知识进行说理证明。（5）课内与课外的关系：根据优化评价矫正的原则，每节课要尽量确保进行课堂检测。根据学生探究过程中出现的“弄不清通过折叠究竟能得出何种结论”的问题，在三个活动结束后安排了突破易错点的针对性较强的课堂检测。由于教学过程中重点突出，目标明确，学生的达成率在95%以上。由于课堂中的学生具有层次性，课堂上总要为层次高的同学多设置问题，若时间不够解决问题则延续到课后。如上面提到的“用刚才的三角形的纸片，你还能折出菱形及其他图形吗？”等等，此类问题设计是课内向课外的拓展延续。 四、案例设计
1.学习目标。（1）知识与技能。会熟练根据轴对称的性质寻找由折叠得到的关系及折叠前后图形中存在的不变的位置关系，归纳解决折纸问题的一般步骤并学会解决实际问题。（2）过程与方法。1）经历操作、证明的过程，进一步激发对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系，进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。2）在折纸活动中体会实践操作对认识图形所起的作用并加深对本章的数学知识、数学思想和综合与分析的思维方法的理解。（3）情感、态度与价值观。经历克服困难和取得成功的过程，增进应用数学的自信心。
2.重点分析。经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题
3.难点分析。探究解决折纸问题的思路
活动，你有哪些收获？
6.拓展活动。在活动三操作的基础上你能折出菱形吗？若能，用证明来说明操作的合理性。
五、案例反思
1.在优化教学目标时，要善于准确了解学情。公开课通常经历以下过程：试讲、了解学情（学生暴露问题），准确定位学习目标，合理设计重难点、优化教学活动，激发学生研究、学生知识再认识。但常态课却不可试讲，即会时常出现目标不明、目标过大或过小，教学过程设计无方向感、针对性、有效性。在平时教学中，要吃透教材，准确了解学生现在在哪里，科学定位教学目标，增强一节课的方向感。
2.在教学活动设计时，要善于优化问题的设计。课堂教学应以解决问题为出发点，本节课设计环环相扣、循序渐进的问题串，充分调动学生的积极性和参与性，引发学生的共鸣，营造和谐活跃的课堂氛围。
3.在教学活动过程中，要善于优化问题的互动生成。任何一个问题的探究，一定要依据学生已有的知识储备，要引导学生学会化未知为已知，学会用转化的数学思想思考问题，不要急于授之以鱼，而要授之以渔。本节课借助合理的问题串，引发生生、师生等多种互动探究活动，通过学生的看、说、写等多种活动形式，巧妙地突破重难点，互动生成出解决问题的一般方法。
4.在教学手段选择上，要善于合理应用多媒体的设备。本节课综合交叉地运用展台、幻灯片和教具，极大地激发学生的学习兴趣，增加了课堂容量，提高了课堂效率，优化了课堂评价。
5.在数学活动教学实践中，要善于课程创新。教师要转化固定的思维方式、依附和保守的心态，从被动、依赖的外在专业化模式中走出来，转向内在的、主动的发展模式。结合数学知识和生活实际，合理开发数学活动资源。根据本校实际、自己的经验和能力、学生的兴趣和水平，整合数学活动资源，建构和创造以“主题？探究？表现”为单元的“登山型”活动课程。即设定作为教学内容核心的数学活动主题，学生能用多样化的方式，展开活动的、合作的、探究的学习，并能相互表现和共享学习成果，全面提升学生的综合素质和能力。在教学实践中意识到：只有教师充分发挥课程创新的意识和能力，才能不断激发自身的创造性和成就感，进而达成对学生生命活力的激发和创造性的培养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（修订稿）[M].北京师范大学出版社.2011.
[2]全日制义务教育数学课程标准解读（实验稿）[M].北京师范大学出版社.2002.
[3]吴晓红等.五化现象：新课程理念的彰显与背离[J].现代教育科学.2012.
【关键词】数学活动课 教学设计 反思
《全日制义务教育数学课程标准（修订稿）》明确提出：“数学教学是数学活动的教学。”“数学活动是学生经历数学化过程的活动。”相应地，“数学活动”也走进了各种版本的实验教材。以苏科版义务教育课程标准实验教科书为例，各章结束时都安排“数学活动”这一教学内容，设置的目的在于培养学生综合运用章节知识及方法解决实际问题，培养学生的问题意识、应用意识和创新意识，积累学生的活动经验，提高学生解决现实问题的能力。但鉴于“数学活动”内容设置较少、较开放，对教师的课堂设计及组织能力都提出了挑战，现实状况是很多学校都跳过“数学活动”教学。
笔者结合自己开设的一节市级公开课——苏科版九年级上第一章数学活动课《折纸与证明》，谈谈自己对数学活动课的设计和反思。
一、案例实施背景
2009—2010学年度第一学期第五周，南京市初三数学中心组研讨活动在第十三中学红山校区开展，笔者选择苏科版九年级（上）第一章数学活动《折纸与证明》开设公开课，通过对本节开放型课型的活动展示，笔者希望抛砖引玉，激发大家更深层次思考。开课班级是笔者所教的班级，班级中数学优秀生、中等生居多，后进生较少。
二、案例主题分析与设计
本节课是苏科版义务教育课程标准实验教科书九年级数学（上册）第一章图形与证明（二）的最后一课，教材将本节课的内容安排在图形与证明（一）、（二）学完后，既说明本节课的折纸活动是前两章知识的综合应用，又说明证明的过程是操作活动的理论依据，从而进一步让学生认识到证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系。本节课以“折一折？说一说”，“折一折？写一写”，“折一折？用一用”设计教学环节，折纸活动由简单到复杂，说理要求循序渐进，并在活动中激发学生认真思考、积极探索、主动发现问题，并从问题中归纳出折纸问题中蕴含的数学知识和解决折纸问题的一般方法，从而促进学生研究性学习方式的形成，同时通过小组内学生相互协作研究，培养学生合作性学习精神。
三、案例细节分析
1.目标定位。（1）从教材的角度。本节内容在教材中安排在“图形与证明（一）、（二）”学完后，意在突出从数学理论的角度，即用证明的方法来说明折纸活动的合理性，同时体现了本章在认知过程中想要突显的两种认知方法间重要的辩证关系：观察操作丰富了我们对图形的认识和感受；学习证明以利于我们有条理的思考与表达，探索与证明都是获得结论的重要途径，它们相互依赖、相辅相成。再分析课题，“折纸与证明”包含两方面的含义：折纸活动是数学知识的应用并帮助学生加深对数学知识的理解，证明则说明折纸活动的合理性并激发学生从数学角度创新思考，解决问题。两者都要兼顾，若偏重于活动，让学生多说多动手，课堂虽然热闹，但如果不能从折纸活动中获得证明的思路，教学目标则未能达成，从这个角度看更偏重于证明。（2）从学生的角度。作为活动课，首先要让学生动起来，按照课本上活动组织学生活动，发现课本上活动间缺乏关联，设计方案预设，难以激发学生好奇心和创新意识，最后一个活动过于复杂，学生不易说理与目标达成，于是优化活动设计，保留用矩形折正方形，用正方形折边长与正方形边长相等的等边三角形两个活动，结合九年级的综合与实践，补充了书上的两个活动。试讲后发现，学生折纸能力较强，但说理能力却出人意料弱，出现以下问题：找不出折叠后可用于说理的条件；描述不准确；不会表述，认为理所当然等等。这表明教师高估了学生的说理水平，没有准确地把握学情，科学合理地确定重难点，应减少活动数量和时间，加强学生寻找解决折叠问题证明方法的探究。（3）从中考应试的角度。折叠问题是中考专题之一，每年的考试中都有一定的体现，2009江苏中考第29题，在解决第二问时，很多学生就弄错了折叠后的结论，从而导致证明的错误。类似的错误还可以找出很多，说明折叠的说理问题就是学生的一个薄弱环节，按照怎样的方法与步骤进行说理证明是学生的一个盲区。
通过几番斟酌，优化学习目标，将通过折纸活动探究归纳出解决折纸说理问题的一般解题步骤并学会解决实际问题作为本节课的重要目标，数学活动目标明确，针对性强，学生在活动中才能有所得。
2.活动确定。通过几次试讲，出现这样几种情况：活动时间太长，时间来不及；限制活动时间，理论性太强，又显得不是活动课。同时，活动间的关联与过渡不流畅、学生活动的方式与时间不合理。优化活动设计，教学活动由四个活动减少为三个活动，改编2009江苏中考29题将其变为活动三。在整体活动设计中，思考了以下五个方面的关系。（1）数学活动与数学思想的关系：活动既有数学思想方法的支撑，又是对知识与内容的升华。每一次活动结束都有设计方法的归纳与小结。（2）动嘴说与动手写的关系：数学活动教学是在数学领域内一定的思维活动、认识活动的教学。动嘴说和动手写是思维活动与认识活动的一种体现，两者在数学活动过程中要合理安排。会说并不代表会写或会规范思维，活动设计要留有学生书写反馈时间。本节课，活动一简单熟悉，活动后可以安排学生上台讲；活动二复杂且有思维深度，活动后可以安排学生独立写，并用PPT规范校正；活动三归纳应用，活动后安排学生按方法独立解决，并用展台展示学生多种解答。（3）活动与活动之间的关联与过渡：活动与活动间以主线相串，环环相扣、由浅入深，以激发学生求知欲和好奇心。课本上活动方案是呈现型的，缺少神秘感，难度设计从易到难，但不能体现活动间的关联与递进生成。优化问题设计，活动一设计为“你会用一张矩形制片折成一个正方形吗？”；活动二设计为“你能用你刚刚折成的正方形折出边长与之等边长的等边三角形吗？” 活动三设计为“将正方形纸片换成一个三角形纸片，你会折出等腰三角形吗？”活动设计兼顾分层教学：问题二想不出的学生按课本方法折，对于高层次学生老师可以追问“你是怎样思考这种折叠方案的？”；问题二对于层次高的同学，则可布置任务“用刚才的三角形的纸片，你还能折出菱形及其他图形吗？”。（4）独立思考与合作学习的关系：活动化彰显的主要是群体活动，诸如合作交流等，缺少独立思考的个体活动。活动课若只让学生合作交流，而不让学生独立思考，课堂显得热闹，但却浪费了学生有效的课堂学习时间，一部分学生课堂达成率也大打折扣。本节课设计始终在活动、思考、说理中循环，在活动中优化互动生成、优化自主体验。简单的活动自己做、自己写，如活动一；较难的问题三人小组合作完成，如活动二，先思考‘再合作’再矫正。探究折叠前后不变的位置关系与数量关系，是学生的薄弱环节，学生不知从什么角度考虑，对于该易错点，不急于抛给学生，注重互动生成，学生先写，展台显现问题，师生共同探究思考的角度，顺其自然生成出寻找折叠结论的五个角度：角、线段、图形、折痕、折叠前后不变的位置关系；探究解决折叠问题的一般步骤，同样注重互动生成。根据轴对称知识，从五个角度找到了关系，特别是问题二中出现了折痕，折痕垂直平分对应点的连线段，是学生遗忘点，借助教具，让学生回忆、思考、理解，突破难点，让学生再思考，条件找出后怎样进行说理，学生顺其自然生成出说理证明的一般步骤：分析选择条件、用数学知识进行说理证明。（5）课内与课外的关系：根据优化评价矫正的原则，每节课要尽量确保进行课堂检测。根据学生探究过程中出现的“弄不清通过折叠究竟能得出何种结论”的问题，在三个活动结束后安排了突破易错点的针对性较强的课堂检测。由于教学过程中重点突出，目标明确，学生的达成率在95%以上。由于课堂中的学生具有层次性，课堂上总要为层次高的同学多设置问题，若时间不够解决问题则延续到课后。如上面提到的“用刚才的三角形的纸片，你还能折出菱形及其他图形吗？”等等，此类问题设计是课内向课外的拓展延续。 四、案例设计
1.学习目标。（1）知识与技能。会熟练根据轴对称的性质寻找由折叠得到的关系及折叠前后图形中存在的不变的位置关系，归纳解决折纸问题的一般步骤并学会解决实际问题。（2）过程与方法。1）经历操作、证明的过程，进一步激发对数学证明的兴趣，感受证明的必要性，感受合情推理和演绎推理相辅相成的关系，进一步发展合乎逻辑的思考和有条理表达的能力。2）在折纸活动中体会实践操作对认识图形所起的作用并加深对本章的数学知识、数学思想和综合与分析的思维方法的理解。（3）情感、态度与价值观。经历克服困难和取得成功的过程，增进应用数学的自信心。
2.重点分析。经历操作、证明的过程，探究解决折纸问题的方法并会解决折纸问题
3.难点分析。探究解决折纸问题的思路
活动，你有哪些收获？
6.拓展活动。在活动三操作的基础上你能折出菱形吗？若能，用证明来说明操作的合理性。
五、案例反思
1.在优化教学目标时，要善于准确了解学情。公开课通常经历以下过程：试讲、了解学情（学生暴露问题），准确定位学习目标，合理设计重难点、优化教学活动，激发学生研究、学生知识再认识。但常态课却不可试讲，即会时常出现目标不明、目标过大或过小，教学过程设计无方向感、针对性、有效性。在平时教学中，要吃透教材，准确了解学生现在在哪里，科学定位教学目标，增强一节课的方向感。
2.在教学活动设计时，要善于优化问题的设计。课堂教学应以解决问题为出发点，本节课设计环环相扣、循序渐进的问题串，充分调动学生的积极性和参与性，引发学生的共鸣，营造和谐活跃的课堂氛围。
3.在教学活动过程中，要善于优化问题的互动生成。任何一个问题的探究，一定要依据学生已有的知识储备，要引导学生学会化未知为已知，学会用转化的数学思想思考问题，不要急于授之以鱼，而要授之以渔。本节课借助合理的问题串，引发生生、师生等多种互动探究活动，通过学生的看、说、写等多种活动形式，巧妙地突破重难点，互动生成出解决问题的一般方法。
4.在教学手段选择上，要善于合理应用多媒体的设备。本节课综合交叉地运用展台、幻灯片和教具，极大地激发学生的学习兴趣，增加了课堂容量，提高了课堂效率，优化了课堂评价。
5.在数学活动教学实践中，要善于课程创新。教师要转化固定的思维方式、依附和保守的心态，从被动、依赖的外在专业化模式中走出来，转向内在的、主动的发展模式。结合数学知识和生活实际，合理开发数学活动资源。根据本校实际、自己的经验和能力、学生的兴趣和水平，整合数学活动资源，建构和创造以“主题？探究？表现”为单元的“登山型”活动课程。即设定作为教学内容核心的数学活动主题，学生能用多样化的方式，展开活动的、合作的、探究的学习，并能相互表现和共享学习成果，全面提升学生的综合素质和能力。在教学实践中意识到：只有教师充分发挥课程创新的意识和能力，才能不断激发自身的创造性和成就感，进而达成对学生生命活力的激发和创造性的培养。
参考文献：
[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育数学课程标准（修订稿）[M].北京师范大学出版社.2011.
[2]全日制义务教育数学课程标准解读（实验稿）[M].北京师范大学出版社.2002.
[3]吴晓红等.五化现象：新课程理念的彰显与背离[J].现代教育科学.2012.