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【摘要】 在线路工程测量中，特别是市政隧道及桥梁工程测量中，常有较复杂的平面线形，如非完整缓和曲线、卵形回头曲线等，其参数、坐标计算和测设是一个常见的难点和重点,掌握其特性及公式推导原理，精确地解析曲线参数数据,对从业者非常重要和必要。
【关键词】 隧道测量非完整缓和曲线参数公式推导坐标计算
中图分类号：TU745.3 文献标志码：A
一、概论
工程测量学科是一门应用科学，它直接为国民经济建设和国防建设服务，紧密与生产实践相结合。在大中型建设项目中，工程测量是一项极其重要的、专业性较强的基础性工作。特别是在市政道路工程建设中，经常会遇到道路线形较为复杂，线元变化较多的情况，而测量成果的精度高低，直接影响到工程质量的好坏，测量工作的任何一次失误，都可能导致工程施工出现较大的偏差，从而引起工程局部返工甚至报废，并会延误工期，造成巨大的工程损失。因此，在施工过程中，如何控制好工程测量的施作质量，从而使工程建设顺利优质地完成，是每一个工程测量工作者的首要职责。
当前，全国各地基础设施工程建设快速发展。在一些市政道路建设时，既要保证行车的安全性、便捷性和舒适性，保证道路线形平滑流畅，同时又受到地形条件限制，必须绝对保障既有建筑物安全,最大限度地节约土地资源,所以设计者经常采用较为复杂的平曲线、竖曲线线形设计。如在中建八局承建、作者近期参建的重庆市渝中区地下环道隧道工程和机场专用快速路工程中，设计者就采用了多条非对称、非完整缓和曲线线形。重庆市渝中区地下环道隧道工程的五一路交叉段包含多个非完整缓和曲线线元及小半径曲线（最小半径R=55m）。在上述较为复杂的线形测设中，作者结合非完整缓和曲线特性和理论计算，利用LEICA全站仪后处理软件系统及CASIOfx-5800P手持计算器，较为精确地进行了线形解析与实地施测，计算坐标值与设计逐桩坐标表给定值互差小于2mm。
二、非完整缓和曲线特性及参数计算
在直线与圆曲线之间插入的一段半径由∞ 逐渐变化到R的曲线称做缓和曲线，它的形式有螺旋线（又称回旋线，我国普遍采用）、三次抛物线和双纽线。回旋线的基本公式为：
R =
式中，R : 緩和曲线上任意一点的曲率半径，在ZH点其值为∞，在HY点其值为圆曲线半径R ； A: 回旋曲线参数，也称曲率半径变化率；：完整缓和曲线的全长。
在完整缓和曲线的计算中，通常以直线线元与缓和曲线线元衔接点（ZH点或HZ点）为原点建立平面直角坐标系进行计算，而非完整缓和曲线只是完整缓和曲线中的一段，其与上一线元的衔接点并非是ZH点（对于第二缓和曲线来说，其与下一线元的衔接点非HZ点），而是缓和曲线上的任意一点，也就是说它的起点或终点半径不是∞ ，而是一个具体的数值，其曲率半径变化时由到（>）或由到，但是它仍然是回旋线，所以仍具有回旋线的一切特性。要解决非完整缓和曲线的计算问题，可以将其一端延伸至曲率半径为∞ 的ZH (或HZ) 点处，将其转换为相对应的完整缓和曲线，然后通过相应的坐标转换，就可以计算出非完整缓和曲线上任意里程的坐标数据了。如图1所示：
设非完整缓和曲线回旋参数为A，起点曲率半径为，终点曲率半径为，且>，非完整缓和曲线长为，将其曲率半径较大的一端O1端顺延至曲率半径为∞ 的O处，形成完整缓和曲线，就能用完整缓和曲线公式来推导非完整缓和曲线计算公式了。图中：
O至缓和曲线长为： =
O至缓和曲线长为： =
至非完整缓和曲线长为：===
=
由上可知，非完整缓和曲线参数：A=
图1
其中A、四个参数中，只要知道任意三个数值，就可以计算另外一个。根据完整缓和曲线方程R = ，可求出该非完整缓和曲线所对应的完整缓和曲线上曲率半径由∞到的弧长，即完整缓和曲线起点O至的距离：
=
也可由此计算非完整缓和曲线上任意点的曲率半径:
R =
式中：为完整缓和曲线起点O至的距离
L的距离
设非完整缓和曲线上任意点距其起点的长度为L,曲率半径为R，任意点与起点的切线夹角为（此处称为非完整缓和曲线转角），其公式推导如下：
取点微分单元，则:
R * =，
上式积分，既得到弧长L所对应的非完整缓和曲线角=则：
= = +
当<时，则有:
上式表明，只要知道缓和曲线参数A、就可求出非完整缓和曲线起点切线与其上任意一点切线夹角如果非完整缓和曲线的起点切线方位角已知，即可计算出其上任意一点的切线方位角。如上图所示，当非完整缓和曲线为左转时：
—
同理当非完整缓和曲线为右转时：
+
整合得：
其中缓和曲线右转角为正，左转角为负，的方向与线路前进方向一致。应注意的是，此处的计算值为弧度值，计算时要将其转化为角度值（角度=弧度/π*180）再进行方位角的计算。
求得非完整缓和曲线各项所需参数后，以其起点为原点建立直角坐标系，按照完整缓和曲线的坐标公式推导方式，可计算出非完整缓和曲线上任意一点在此坐标系中的的坐标，已知点到的距离为L，则有：
如果以小半径为原点建立平面坐标系，（L为点到的曲线长）则：
根据以上计算结果，可以计算和测设非完整缓和曲线上任意一点的坐标。其实在实际工作中，可以利用具有编程功能的全站仪后处理软件系统及手持计算器，将以上复杂的计算过程程序化，使得计算和测设更加准确、简便和快捷。一般平面坐标计算程序所需要的线元参数有：线元起点坐标、起点方位角、线路转向、起点终点里程和曲率半径等，所以我们只要掌握了非完整缓和曲线的计算原理，利用设计图纸信息，推导计算所需曲线参数，即可利用较先进的计算工具来计算各种复杂线形的任意点坐标了。
三、工程计算实例
重庆市渝中区解放碑地下环道隧道工程为重庆市重点工程，地处繁华市区，周边高层建筑林立，为保证平面线形顺滑并避让地表高层建筑，，平面线形设计较为复杂，大量使用不对称非完整缓和曲线。以其中五一路交叉段的一段非完整缓和曲线CS1—CS2为例，已知参数有：起点里程SC1：K0+234.106；终点里程SC2：K0+334.106；缓和曲线参数A=74.999 m；长度L=100 m；起点半径R1=55 m。起点方位角及终点半径未知。线位数据见下表1：
解放碑地下环道五一路交叉段线位数据表
点名 桩号 x y
BP K0+000.000 83340.881 71517.348
TSI1 83358.091 71480.530
SC1 K+060.000 83375.217 71469.111
PI1 79557.154 74014.890
CS1 K0+234.106 83435.136 71561.350
TSI2 83403.758 71581.203
SC2 K0+334.106 83339.027 71556.455
PI2 83141.745 71481.030
EP K0+755.503 82960.085 71373.286
表1
起点方位角计算：根据匝道起点BP与点TSI1坐标反算，可求得BP点起始方位角为295°03′10.8″，再据完整缓和曲线切线转角=，可求得SC1点=31°15′9.8″，切线方位角为326°18′20.7″；根据圆曲线切线转角=,可求得CS1点=181°22′21.1″，切线方位角为147°40′41.8″。
终点半径计算：根据非完整缓和曲线上任意点的曲率半径R = ，可求得=2.27，再据回旋线的基本公式为 R = ，可求得SC2点半径为2477.907m。同理，若已知非完整缓和曲线的半径、弧长和缓曲参数，即可求出该曲线上任意点的切线转角，进而求出其切线方位角。
将以上所计算非完整缓和曲线各参数输入到相应程序，就可以计算此曲线任意里程中边桩坐标了。
四、结语
通过以上对非完整缓和曲线参数计算公式推导和实例计算，可以证明此方法能够解决较为复杂的线路平曲线坐标计算与测设，能适应各种道路工程测量作业的需要，可灵活设站，提高工作效率，降低内业、外业工作强度，为测量工作者提供了较为便捷、精准的工作方法。
【参考文献】
【1】、张雨化，道路勘测设计 【M】 北京 人民交通出版社1999
【2】、闻道秋，贡云兰，不完全缓和曲线的计算 【J】 公路交通设计2002（01）
【3】、隋永芹，张雪华，王家红，高速公路互通立交匝道非完整缓和曲线计算 【J】 中南公路工程2003（09）
【关键词】 隧道测量非完整缓和曲线参数公式推导坐标计算
中图分类号：TU745.3 文献标志码：A
一、概论
工程测量学科是一门应用科学，它直接为国民经济建设和国防建设服务，紧密与生产实践相结合。在大中型建设项目中，工程测量是一项极其重要的、专业性较强的基础性工作。特别是在市政道路工程建设中，经常会遇到道路线形较为复杂，线元变化较多的情况，而测量成果的精度高低，直接影响到工程质量的好坏，测量工作的任何一次失误，都可能导致工程施工出现较大的偏差，从而引起工程局部返工甚至报废，并会延误工期，造成巨大的工程损失。因此，在施工过程中，如何控制好工程测量的施作质量，从而使工程建设顺利优质地完成，是每一个工程测量工作者的首要职责。
当前，全国各地基础设施工程建设快速发展。在一些市政道路建设时，既要保证行车的安全性、便捷性和舒适性，保证道路线形平滑流畅，同时又受到地形条件限制，必须绝对保障既有建筑物安全,最大限度地节约土地资源,所以设计者经常采用较为复杂的平曲线、竖曲线线形设计。如在中建八局承建、作者近期参建的重庆市渝中区地下环道隧道工程和机场专用快速路工程中，设计者就采用了多条非对称、非完整缓和曲线线形。重庆市渝中区地下环道隧道工程的五一路交叉段包含多个非完整缓和曲线线元及小半径曲线（最小半径R=55m）。在上述较为复杂的线形测设中，作者结合非完整缓和曲线特性和理论计算，利用LEICA全站仪后处理软件系统及CASIOfx-5800P手持计算器，较为精确地进行了线形解析与实地施测，计算坐标值与设计逐桩坐标表给定值互差小于2mm。
二、非完整缓和曲线特性及参数计算
在直线与圆曲线之间插入的一段半径由∞ 逐渐变化到R的曲线称做缓和曲线，它的形式有螺旋线（又称回旋线，我国普遍采用）、三次抛物线和双纽线。回旋线的基本公式为：
R =
式中，R : 緩和曲线上任意一点的曲率半径，在ZH点其值为∞，在HY点其值为圆曲线半径R ； A: 回旋曲线参数，也称曲率半径变化率；：完整缓和曲线的全长。
在完整缓和曲线的计算中，通常以直线线元与缓和曲线线元衔接点（ZH点或HZ点）为原点建立平面直角坐标系进行计算，而非完整缓和曲线只是完整缓和曲线中的一段，其与上一线元的衔接点并非是ZH点（对于第二缓和曲线来说，其与下一线元的衔接点非HZ点），而是缓和曲线上的任意一点，也就是说它的起点或终点半径不是∞ ，而是一个具体的数值，其曲率半径变化时由到（>）或由到，但是它仍然是回旋线，所以仍具有回旋线的一切特性。要解决非完整缓和曲线的计算问题，可以将其一端延伸至曲率半径为∞ 的ZH (或HZ) 点处，将其转换为相对应的完整缓和曲线，然后通过相应的坐标转换，就可以计算出非完整缓和曲线上任意里程的坐标数据了。如图1所示：
设非完整缓和曲线回旋参数为A，起点曲率半径为，终点曲率半径为，且>，非完整缓和曲线长为，将其曲率半径较大的一端O1端顺延至曲率半径为∞ 的O处，形成完整缓和曲线，就能用完整缓和曲线公式来推导非完整缓和曲线计算公式了。图中：
O至缓和曲线长为： =
O至缓和曲线长为： =
至非完整缓和曲线长为：===
=
由上可知，非完整缓和曲线参数：A=
图1
其中A、四个参数中，只要知道任意三个数值，就可以计算另外一个。根据完整缓和曲线方程R = ，可求出该非完整缓和曲线所对应的完整缓和曲线上曲率半径由∞到的弧长，即完整缓和曲线起点O至的距离：
=
也可由此计算非完整缓和曲线上任意点的曲率半径:
R =
式中：为完整缓和曲线起点O至的距离
L的距离
设非完整缓和曲线上任意点距其起点的长度为L,曲率半径为R，任意点与起点的切线夹角为（此处称为非完整缓和曲线转角），其公式推导如下：
取点微分单元，则:
R * =，
上式积分，既得到弧长L所对应的非完整缓和曲线角=则：
= = +
当<时，则有:
上式表明，只要知道缓和曲线参数A、就可求出非完整缓和曲线起点切线与其上任意一点切线夹角如果非完整缓和曲线的起点切线方位角已知，即可计算出其上任意一点的切线方位角。如上图所示，当非完整缓和曲线为左转时：
—
同理当非完整缓和曲线为右转时：
+
整合得：
其中缓和曲线右转角为正，左转角为负，的方向与线路前进方向一致。应注意的是，此处的计算值为弧度值，计算时要将其转化为角度值（角度=弧度/π*180）再进行方位角的计算。
求得非完整缓和曲线各项所需参数后，以其起点为原点建立直角坐标系，按照完整缓和曲线的坐标公式推导方式，可计算出非完整缓和曲线上任意一点在此坐标系中的的坐标，已知点到的距离为L，则有：
如果以小半径为原点建立平面坐标系，（L为点到的曲线长）则：
根据以上计算结果，可以计算和测设非完整缓和曲线上任意一点的坐标。其实在实际工作中，可以利用具有编程功能的全站仪后处理软件系统及手持计算器，将以上复杂的计算过程程序化，使得计算和测设更加准确、简便和快捷。一般平面坐标计算程序所需要的线元参数有：线元起点坐标、起点方位角、线路转向、起点终点里程和曲率半径等，所以我们只要掌握了非完整缓和曲线的计算原理，利用设计图纸信息，推导计算所需曲线参数，即可利用较先进的计算工具来计算各种复杂线形的任意点坐标了。
三、工程计算实例
重庆市渝中区解放碑地下环道隧道工程为重庆市重点工程，地处繁华市区，周边高层建筑林立，为保证平面线形顺滑并避让地表高层建筑，，平面线形设计较为复杂，大量使用不对称非完整缓和曲线。以其中五一路交叉段的一段非完整缓和曲线CS1—CS2为例，已知参数有：起点里程SC1：K0+234.106；终点里程SC2：K0+334.106；缓和曲线参数A=74.999 m；长度L=100 m；起点半径R1=55 m。起点方位角及终点半径未知。线位数据见下表1：
解放碑地下环道五一路交叉段线位数据表
点名 桩号 x y
BP K0+000.000 83340.881 71517.348
TSI1 83358.091 71480.530
SC1 K+060.000 83375.217 71469.111
PI1 79557.154 74014.890
CS1 K0+234.106 83435.136 71561.350
TSI2 83403.758 71581.203
SC2 K0+334.106 83339.027 71556.455
PI2 83141.745 71481.030
EP K0+755.503 82960.085 71373.286
表1
起点方位角计算：根据匝道起点BP与点TSI1坐标反算，可求得BP点起始方位角为295°03′10.8″，再据完整缓和曲线切线转角=，可求得SC1点=31°15′9.8″，切线方位角为326°18′20.7″；根据圆曲线切线转角=,可求得CS1点=181°22′21.1″，切线方位角为147°40′41.8″。
终点半径计算：根据非完整缓和曲线上任意点的曲率半径R = ，可求得=2.27，再据回旋线的基本公式为 R = ，可求得SC2点半径为2477.907m。同理，若已知非完整缓和曲线的半径、弧长和缓曲参数，即可求出该曲线上任意点的切线转角，进而求出其切线方位角。
将以上所计算非完整缓和曲线各参数输入到相应程序，就可以计算此曲线任意里程中边桩坐标了。
四、结语
通过以上对非完整缓和曲线参数计算公式推导和实例计算，可以证明此方法能够解决较为复杂的线路平曲线坐标计算与测设，能适应各种道路工程测量作业的需要，可灵活设站，提高工作效率，降低内业、外业工作强度，为测量工作者提供了较为便捷、精准的工作方法。
【参考文献】
【1】、张雨化，道路勘测设计 【M】 北京 人民交通出版社1999
【2】、闻道秋，贡云兰，不完全缓和曲线的计算 【J】 公路交通设计2002（01）
【3】、隋永芹，张雪华，王家红，高速公路互通立交匝道非完整缓和曲线计算 【J】 中南公路工程2003（09）