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抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，但给出了函数满足的一部分性质或运算法则的函数问题。抽象函数问题是高中数学函数部分的难点，也是高中与大学函数部分的衔接点。由于这类试题既能全面地考查学生对函数概念的理解及性质的代数推理和论证能力，又能综合考查学生对数学符号语言的理解和接受能力以及对一般和特殊关系的认识，从而对考查学生的创新精神、实验能力和运用数学的能力，有着十分重要的作用。
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性，提高解题能力，优化学生数学思维素质。解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以，近年来高考题中不断出现，在全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面，通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域、值域
例1：已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定义域。
解析：由a＞0知，只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a｝；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x，即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
解决抽象函数的值域问题是由定义域与对应法则决定。
例2：若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]，求y=(3x+2)的值域。
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
二、求抽象函数表达式
1．换元法：即用中间变量表示原自变量 的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此解法可培养学生的灵活性及变形能力。
例3：已知 ,求 .
解：设,则
2．凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例4：已知 ，求.
解：
又∵
∴
3．待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例5：已知是二次实函数,且
,求.
解： ，则
比较系数得
∴
4．赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式。
例6：设的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x)
解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3……f(n)=(n-1)+n
以上各式相加，有f(n)=1+2+3+……+ n= ∴
三、抽象函数的单调性和奇偶性
一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
例7：定义在R上的函数f(x)同时满足条件：(1)f(x+y)=f(x)+f(y)，x,y∈R；(2)当x＞0时,f(x)＜0,且f(1)=-2。求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。
解：由(1)可知f(x)是奇函数；又因x1＞x2＞0时,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)＜0，所以f(x)是R上的减函数。因而易得函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是6和-6。
例8：已知偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数，解不等式f(x-1)＞f(1-2x)。
解：（1）当x≦ 时，x-1＜0,1-2x≧0,由于f(x-1)=f(1-x)，故原不等式即为f(x-1)=f(1-x)，再由f(x)在[0,+∞]上递增,得x－1>1－2x，即0＜x≦.
（2）当 ＜x≦1时，x-1≦0，1－2x<0，从而1-x≧0，2x－1>0，故原不等式可化为f(1-x)>f(2x-1)，所以1－x>2x－1，即 ＜x＜ .
（3）当x>1时，x－1>0，1－2x<0，由f(x-1)>f(1-2x)=f(2x-1),得x－1>2x－1，即x<0，这与x>1矛盾。
综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为0＜x＜ .
点评：可见例7中判断函数f(x)的奇偶性和单调性是关键；例8中解不等式f(x-1)＞f(1-2x)，必须设法去掉符号“f”，而去掉符号“f”只能依据f(x)的单调性。当然，也可考虑运用特殊化的思想方法，即用一个满足条件的具体函数代替抽象函数，使问题迎刃而解。这种特殊化方法在解客观题时优势特别明显。
四、抽象函数的对称性和周期性
例9：已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在 (1,2)上的解析式。
解法1：
从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上的问题转化为已知解析式的区间上的问题。
∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1)
∴2-x∈(0,1),∵T=2，是偶函数
∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x
x∈(1,2)
解法2：
从图象入手也可解决，且较直观，f(x)=f(x+2)
如上图：x∈(0,1),f(x)=x+1.
∵是偶函数
∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1
又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈(-1,0)
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x
五、函数模型法
模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
例10：已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x＞1时，f(x)＜1，试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由。
解:对X∈R+有
又f(x)≠0,故f(x)＞0
设x1,x2∈R+,且x1＜x2,则 则
所以f(x1)＞f(x2),故f(x)在R+上为减函数.
总之，在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法,或函数模型法,则可将抽象问题形象化,更有利于问题的解决。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
由于函数概念比较抽象，学生对解有关函数记号 的问题感到困难，学好这部分知识，能加深学生对函数概念的理解，更好地掌握函数的性质，培养灵活性，提高解题能力，优化学生数学思维素质。解决抽象函数的问题要求学生基础知识扎实、抽象思维能力、综合应用数学能力较高。所以，近年来高考题中不断出现，在全国各地高考试题中，抽象函数遍地开花。但学生在解决这类问题时常常感到束手无策、力不从心。下面，通过例题全面探讨抽象函数主要考查的内容及其解法。
一、抽象函数的定义域、值域
例1：已知函数f(x)的定义域为[1,3]，求出函数g(x)=f(x+a)+f(x-a)（a＞0）的定义域。
解析：由a＞0知，只有当0＜a＜1时，不等式组才有解，具体为{x|1+a＜x≤3-a｝；否则不等式组的解集为空集，这说明当且仅当0＜a＜1时，g(x)才能是x的函数，且其定义域为（1+a,3-a]。
点评：1.已知f(x)的定义域为[a,b]，则f[g(x)]的定义域由a≤g(x)≤b，解出x，即可得解；2.已知f[g(x)]的定义域为[a,b]，则f(x)的定义域即是g(x)在x[a,b]上的值域。
解决抽象函数的值域问题是由定义域与对应法则决定。
例2：若函数y=f(x+1)的值域为[-1，1]，求y=(3x+2)的值域。
解析：因为函数y=f(3x+2)中的定义域与对应法则与函数y=f(x+1)的定义域与对应法则完全相同，故函数y=f(3x+2)的值域也为[-1，1]。
二、求抽象函数表达式
1．换元法：即用中间变量表示原自变量 的代数式，从而求出，这也是证某些公式或等式常用的方法，此解法可培养学生的灵活性及变形能力。
例3：已知 ,求 .
解：设,则
2．凑配法：在已知的条件下，把并凑成以表示的代数式，再利用代换即可求.此解法简洁，还能进一步复习代换法。
例4：已知 ，求.
解：
又∵
∴
3．待定系数法：先确定函数类型，设定函数关系式，再由已知条件，定出关系式中的未知系数。
例5：已知是二次实函数,且
,求.
解： ，则
比较系数得
∴
4．赋值法：给自变量取特殊值，从而发现规律，求出的表达式。
例6：设的定义域为自然数集，且满足条件f(x+1)=f(x)+f(y)+xy,及f(1)=1,求f(x)
解：∵f(x)的定义域为N，取y=1,则有f(x+1)=f(x)+x+1
∵f(1)=1,∴f(2)=f(1)+2,f(3)=f(2)+3……f(n)=(n-1)+n
以上各式相加，有f(n)=1+2+3+……+ n= ∴
三、抽象函数的单调性和奇偶性
一般地，如果对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)，则称f(x)为这一定义域内的奇函数或偶函数。奇函数的图象关于原点对称；偶函数的图象关于y轴对称。
例7：定义在R上的函数f(x)同时满足条件：(1)f(x+y)=f(x)+f(y)，x,y∈R；(2)当x＞0时,f(x)＜0,且f(1)=-2。求f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值。
解：由(1)可知f(x)是奇函数；又因x1＞x2＞0时,f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)＜0，所以f(x)是R上的减函数。因而易得函数f(x)在区间[-3,3]上的最大值和最小值分别是6和-6。
例8：已知偶函数f(x)在[0,+∞]上是增函数，解不等式f(x-1)＞f(1-2x)。
解：（1）当x≦ 时，x-1＜0,1-2x≧0,由于f(x-1)=f(1-x)，故原不等式即为f(x-1)=f(1-x)，再由f(x)在[0,+∞]上递增,得x－1>1－2x，即0＜x≦.
（2）当 ＜x≦1时，x-1≦0，1－2x<0，从而1-x≧0，2x－1>0，故原不等式可化为f(1-x)>f(2x-1)，所以1－x>2x－1，即 ＜x＜ .
（3）当x>1时，x－1>0，1－2x<0，由f(x-1)>f(1-2x)=f(2x-1),得x－1>2x－1，即x<0，这与x>1矛盾。
综合(1)、(2)、(3)得原不等式的解为0＜x＜ .
点评：可见例7中判断函数f(x)的奇偶性和单调性是关键；例8中解不等式f(x-1)＞f(1-2x)，必须设法去掉符号“f”，而去掉符号“f”只能依据f(x)的单调性。当然，也可考虑运用特殊化的思想方法，即用一个满足条件的具体函数代替抽象函数，使问题迎刃而解。这种特殊化方法在解客观题时优势特别明显。
四、抽象函数的对称性和周期性
例9：已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x∈(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在 (1,2)上的解析式。
解法1：
从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上的问题转化为已知解析式的区间上的问题。
∵x∈(1,2), 则-x∈(-2,-1)
∴2-x∈(0,1),∵T=2，是偶函数
∴f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x
x∈(1,2)
解法2：
从图象入手也可解决，且较直观，f(x)=f(x+2)
如上图：x∈(0,1),f(x)=x+1.
∵是偶函数
∴x∈(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1
又周期为2，x∈(1,2)时x-2∈(-1,0)
∴f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x
五、函数模型法
模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。
例10：已知函数f(x)对任何正数x,y都有f(xy)=f(x)f(y),且f(x)≠0,当x＞1时，f(x)＜1，试判断f(x)在(0,+∞)上的单调性,并说明理由。
解:对X∈R+有
又f(x)≠0,故f(x)＞0
设x1,x2∈R+,且x1＜x2,则 则
所以f(x1)＞f(x2),故f(x)在R+上为减函数.
总之，在解决抽象函数问题时，往往不是去考虑如何求这个函数的表达式，而是应设法利用这个函数的性质，如奇偶性、周期性、单调性、对称性等去把问题解决，倘若能利用数形结合的方法,或函数模型法,则可将抽象问题形象化,更有利于问题的解决。
注：本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文