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摘 要：我们要使数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动. 本文就数学文化应用于数学概念教学谈点自己的看法：用数学文化铺垫概念教学，去其功利；用数学文化指引概念教学，探其根源；用数学文化剖析概念教学，理其脉络；用数学文化深化概念教学，究其本质；用数学文化突破概念教学，追其外延.
关键词：数学文化；概念教学
数学是一种文化现象. 历史上柏拉图、达·芬奇、爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人同时也是20世纪数学文明的缔造者. 在高中数学课程标准中，数学文化已成为一个单独的板块，人们对数学文化的存在价值有了特别的关注.进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入. 其中一个重要的标志，就是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动.
概念是人类思维的“细胞”. 各种能力，如运算、逻辑思维、空间想象能力、创新能力等，无一不以清晰的概念为基础. 所以，如果要提高数学教学质量，注重数学概念的教学是十分必要的. 数学概念作为数学学科的奠基石，是数学教学过程中的重中之重. 学生对数学概念的理解、掌握和运用是数学教学的重点. 本文就数学文化应用于数学概念教学陈一孔之见.
[?] 用数学文化铺垫概念教学，去其功利
著名数学家柯朗（Richard Courant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机”. 在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念. 高中数学概念教学有些现象很令人担忧：教师重解题技巧，轻概念生成，追求概念教学最小化和习题讲解最大化；学生认为概念学习单调乏味而不重视它，对基本概念死记硬背、不求甚解，只是机械记忆. 直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的题型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情况、新的题目就束手无策，进而导致教师和学生为了提高成绩，陷入无休止的题海之中，数学教学变成了一种空洞的解题训练.
造成以上现象的主要原因在于学生仅仅知道数学概念本身，并未理解概念的形成过程，对概念引出的必要性、概念的本质及其功能没有深刻的认识. 《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解. 由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质”. 因此，我们要使学生真正领会和把握数学概念，教师就必须在概念生成的环节不惜时，不惜力. 比如，我们在教学“函数”这一概念，可能需要用大半节课引入概念，剖析概念，研究函数的内涵和外延. 虽然从短时看，这可能比不上做大量练习的效果，但学生理解了函数的概念和本质，对以后灵活解答各类问题有极大的帮助.
[?] 用数学文化指引概念教学，探其根源
概念教学不能“就事论事”，只注重这个“点”，这样只会“见木不见林”. 数学文化指引我们找到知识体系大树中，概念的根深藏于什么位置，围绕根来开展教学，这是概念生成的基础. 概念生成的核心，就是要让学生在探索、辨析、感悟和运用中提升自己的数学思维，完善自己的知识体系，构建自己的数学思想，以达到使学生获得必备的数学素养与最佳发展的目的，即寻找概念的根，理解概念的魂.
比如，复数和虚数的概念有悠远的历史背景，是数发展到一定阶段的必然产物. 在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，在学生的有限的知识结构中也找不到虚数的生活原型，所以学生很难完全理解它. 因此，在讲解这两个概念时，可以将数的发展史、虚数与复数的出现历程做简单阐述.从原始人分配食物开始，首先是自然数的出现，然后到分数的出现. 接下来经过漫长的数的发展，人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率等. 人们把它们写成π等形式，称它们为无理数. 到19世纪，由于运算时经常需要开平方，如果被开方数是负数，比如x2+4=0，x2=-4，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁. 这样，可以让学生融入教学中，跟着故事的结尾一起思索，然后引入新概念：数学家们就规定用符号“i”表示“-1”的平方根，即i2= -1，虚数就这样诞生了. 实数和虚数结合起来，写成 a+bi的形式（a、b均为实数），这就是复数. 这种引入概念的过程新颖别致，一开始就能抓住学生的眼球，吸引他们的注意力，使课堂教学轻松有趣.
我们在做教学设计前，可以先问自己几个问题：（1）概念的来源理清了吗？（2）概念的内涵与外延是什么？（3）与之相关概念的相互关系是什么？（4）概念有什么文化作用？掌握了概念的根，就可以准确把握向量在不同教学阶段的不同含义和不同的教学要求：先从实际模型抽象出概念，然后用数学方法研究性质，最后运用模型解决问题，这样就体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，从而形成对数学的完整认识.
[?] 用数学文化剖析概念教学，理其脉络
美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识. 一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命.” 就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教.
众所周知，概念的教学是循序渐进的. 我们在进行教学时可以设计一系列问题从基础入手，层层深入，循循善诱.让学生在一系列问题中. 逐步了解概念的由来，关注概念的发展，理清概念的脉络，探求概念的本质. 比如，笔者在教学增函数这一概念时，设计了这样一系列问题：
问题1 给出某地近十年来经济发展变化图，观察图象，怎样描述经济随时间增大的变化情况？
问题2 函数y=x，y=x2从左往右看呈何趋势？
问题3 对具体的两个值a 问题4 若区间[a，b]上存在无数个值x1 问题5 那么f（x1），f（x2）与x1，x2之间要满足什么样的关系，才能得出函数在区间[a，b]上y随自变量x的增大而增大呢？（必需是任意两点都满足条件）
[?] 用数学文化深化概念教学，究其本质
数学概念一般来源于实际问题的解决或数学自身发展的需要，在其以定理、法则、公式这些冷冰冰的形式化知识展现的背后，隐藏着原始的、生动活泼的数学思维，这就是概念形成的目标，华罗庚教授说得好：“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论”.
课堂上可采用在概念的形成中掌握概念的策略，以数学概念原理的发生发展过程为引入线索，问题引导学习，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索）、思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做，动眼看，动口说，动脑思，用心想，全身心地投入概念学习.
比如，教学“函数”这一概念. 从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的. 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义. 从对函数的不同认识阶段看：初中以“变量说”定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以“对应说”定义函数，引进数字以外的符号（y= f（x）中，f不代表数，与x，y的含义非常不同）表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”. 从研究函数的方法上：对于“基本初等函数”的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在“基本初等函数”的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解. 所以，我们教学的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的“基本规范”.
[?] 用数学文化突破概念教学，追其外延
形成概念时，通过对一类对象的研究，分析这类对象的共同的本质属性，再把具有本质属性的对象全部加起来研究，剖析概念的内涵与外延，这就是概念的理解. 理解了概念的内涵与外延后，抽象化和形式化的例子要尽可能回避，多筛选与生活的联系密切的例题，通过问题的解答过程凸显概念本质，生动活泼的数学思维活动应该为学生所认识和体验，这就是概念生成的成熟表现.熟悉的情景、鲜活的生活素材，激发了学生的兴趣和积极思考，润物细无声地融入教学中. 学生在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，体验到成功的喜悦，并进一步转化为学习的动力，投入到提炼概念并不断完善概念的过程中.
在复习“方程”这个概念时，学生研究一元二次方程，得到其求根公式、韦达定理等结论；研究分式方程得到化分式为整式的经验，注意分母不为零；在研究无理方程时知道要考虑有理化和其存在的意义. 通过这些结论的对比分析，得到解方程的本质就是同解变形. 这些结论的生成和知识现象背后的本质不是教师灌输给学生的，而是学生在自主学习、合作研究的过程中探索得到的，对学生来说是原发性、持续性、创造性的知识. 从概念的系统中掌握概念，我们应该在研究获得的结论中进行筛选，提炼出形式最简洁、表征合理、有应用和推广价值的结论进行深度剖析. 一方面从结论的内涵出发，讨论结论成立的充分必要条件，可能引发出的新的结论等；另一方面从结论的外延即应用出发，用此结论解决各种实际或抽象问题，加深对结论的记忆，并体会数学学习的意义.
总之，当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学. 我们作为地球村的村民，一定要融入世界数学文化，将民族性和世界性有机地结合起来，揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影.
关键词：数学文化；概念教学
数学是一种文化现象. 历史上柏拉图、达·芬奇、爱因斯坦、希尔伯特、罗素、冯·诺依曼等文化名人同时也是20世纪数学文明的缔造者. 在高中数学课程标准中，数学文化已成为一个单独的板块，人们对数学文化的存在价值有了特别的关注.进入21世纪之后，数学文化的研究更加深入. 其中一个重要的标志，就是数学文化走进中小学课堂，渗入实际数学教学，努力使学生在学习数学过程中真正受到文化感染，产生文化共鸣，体会数学的文化品位，体察社会文化和数学文化之间的互动.
概念是人类思维的“细胞”. 各种能力，如运算、逻辑思维、空间想象能力、创新能力等，无一不以清晰的概念为基础. 所以，如果要提高数学教学质量，注重数学概念的教学是十分必要的. 数学概念作为数学学科的奠基石，是数学教学过程中的重中之重. 学生对数学概念的理解、掌握和运用是数学教学的重点. 本文就数学文化应用于数学概念教学陈一孔之见.
[?] 用数学文化铺垫概念教学，去其功利
著名数学家柯朗（Richard Courant）在名著《数学是什么》的序言中这样写道：“今天，数学教育的传统地位陷入严重的危机”. 在中国数学教育界，常常有“数学=逻辑”的观念. 高中数学概念教学有些现象很令人担忧：教师重解题技巧，轻概念生成，追求概念教学最小化和习题讲解最大化；学生认为概念学习单调乏味而不重视它，对基本概念死记硬背、不求甚解，只是机械记忆. 直接后果表现为学生在没有真正理解概念的情况下匆忙去解题，使得他们只会模仿教师解决某些典型例题的题型和掌握某些特定的解法，一旦遇到新的情况、新的题目就束手无策，进而导致教师和学生为了提高成绩，陷入无休止的题海之中，数学教学变成了一种空洞的解题训练.
造成以上现象的主要原因在于学生仅仅知道数学概念本身，并未理解概念的形成过程，对概念引出的必要性、概念的本质及其功能没有深刻的认识. 《普通高中数学课程标准》指出：“数学教学中应强调对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心的概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步理解. 由于数学高度抽象的特点，注意体现基本概念的来龙去脉.在教学中要引导学生经历具体实例抽象数学概念的过程，在初步运用中逐步理解概念的本质”. 因此，我们要使学生真正领会和把握数学概念，教师就必须在概念生成的环节不惜时，不惜力. 比如，我们在教学“函数”这一概念，可能需要用大半节课引入概念，剖析概念，研究函数的内涵和外延. 虽然从短时看，这可能比不上做大量练习的效果，但学生理解了函数的概念和本质，对以后灵活解答各类问题有极大的帮助.
[?] 用数学文化指引概念教学，探其根源
概念教学不能“就事论事”，只注重这个“点”，这样只会“见木不见林”. 数学文化指引我们找到知识体系大树中，概念的根深藏于什么位置，围绕根来开展教学，这是概念生成的基础. 概念生成的核心，就是要让学生在探索、辨析、感悟和运用中提升自己的数学思维，完善自己的知识体系，构建自己的数学思想，以达到使学生获得必备的数学素养与最佳发展的目的，即寻找概念的根，理解概念的魂.
比如，复数和虚数的概念有悠远的历史背景，是数发展到一定阶段的必然产物. 在很长一段时间里，人们在实际生活中找不到用虚数和复数表示的量，在学生的有限的知识结构中也找不到虚数的生活原型，所以学生很难完全理解它. 因此，在讲解这两个概念时，可以将数的发展史、虚数与复数的出现历程做简单阐述.从原始人分配食物开始，首先是自然数的出现，然后到分数的出现. 接下来经过漫长的数的发展，人们又发现了很多不能用两整数之比写出来的数，如圆周率等. 人们把它们写成π等形式，称它们为无理数. 到19世纪，由于运算时经常需要开平方，如果被开方数是负数，比如x2+4=0，x2=-4，这道题还有解吗？如果没有解，那数学运算就像走在死胡同中那样处处碰壁. 这样，可以让学生融入教学中，跟着故事的结尾一起思索，然后引入新概念：数学家们就规定用符号“i”表示“-1”的平方根，即i2= -1，虚数就这样诞生了. 实数和虚数结合起来，写成 a+bi的形式（a、b均为实数），这就是复数. 这种引入概念的过程新颖别致，一开始就能抓住学生的眼球，吸引他们的注意力，使课堂教学轻松有趣.
我们在做教学设计前，可以先问自己几个问题：（1）概念的来源理清了吗？（2）概念的内涵与外延是什么？（3）与之相关概念的相互关系是什么？（4）概念有什么文化作用？掌握了概念的根，就可以准确把握向量在不同教学阶段的不同含义和不同的教学要求：先从实际模型抽象出概念，然后用数学方法研究性质，最后运用模型解决问题，这样就体现了数学知识产生和发展的过程，突出了数学的来龙去脉，有助于学生理解数学的本质，从而形成对数学的完整认识.
[?] 用数学文化剖析概念教学，理其脉络
美国教育心理学家布鲁纳曾指出：“获得的知识如果没有完满的结构将它联系在一起，那是一个多半会被遗忘的知识. 一串不连贯的论据在记忆中仅有短促的可怜的寿命.” 就数学概念教学而言，素质教育提倡的是为理解而教.
众所周知，概念的教学是循序渐进的. 我们在进行教学时可以设计一系列问题从基础入手，层层深入，循循善诱.让学生在一系列问题中. 逐步了解概念的由来，关注概念的发展，理清概念的脉络，探求概念的本质. 比如，笔者在教学增函数这一概念时，设计了这样一系列问题：
问题1 给出某地近十年来经济发展变化图，观察图象，怎样描述经济随时间增大的变化情况？
问题2 函数y=x，y=x2从左往右看呈何趋势？
问题3 对具体的两个值a
[?] 用数学文化深化概念教学，究其本质
数学概念一般来源于实际问题的解决或数学自身发展的需要，在其以定理、法则、公式这些冷冰冰的形式化知识展现的背后，隐藏着原始的、生动活泼的数学思维，这就是概念形成的目标，华罗庚教授说得好：“学习数学最好到数学家的纸篓里去找材料，不要只看课本上的结论”.
课堂上可采用在概念的形成中掌握概念的策略，以数学概念原理的发生发展过程为引入线索，问题引导学习，循序渐进地安排学生的观察（实践性探索）、思维（理性思考）和迁移（知识应用）活动，引导学生动手做，动眼看，动口说，动脑思，用心想，全身心地投入概念学习.
比如，教学“函数”这一概念. 从常量数学到变量数学的转变，是从函数概念的系统学习开始的. 函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意义. 从对函数的不同认识阶段看：初中以“变量说”定义函数，重点是借助一次函数、二次函数、反比例函数等与学生生活经验紧密相关的几类函数，帮助学生形成对函数的直接体验，体会函数的意义，形成用函数解决问题的直接经验. 高中数学以“对应说”定义函数，引进数字以外的符号（y= f（x）中，f不代表数，与x，y的含义非常不同）表达函数，进一步明确函数的表示法，以函数的单调性、奇偶性等典型性质为载体，给出研究函数性质的方法和过程的示范，进一步体验函数作为描述现实世界变化规律的基本数学模型的作用，使学生形成用函数概念研究具体问题的“基本规范”. 从研究函数的方法上：对于“基本初等函数”的研究，是通过对指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等具体函数的研究，逐步加深对函数概念的理解，在“基本初等函数”的应用中，不断体验函数是描述客观世界变化规律的基本数学模型，体验指数函数、对数函数、三角函数等与现实世界的紧密联系性，建立更加广泛、稳固的函数本质的理解. 所以，我们教学的核心任务就是：建立一般意义的函数概念，了解函数的抽象符号的意义，了解函数中的问题、内容和方法，形成研究函数问题的“基本规范”.
[?] 用数学文化突破概念教学，追其外延
形成概念时，通过对一类对象的研究，分析这类对象的共同的本质属性，再把具有本质属性的对象全部加起来研究，剖析概念的内涵与外延，这就是概念的理解. 理解了概念的内涵与外延后，抽象化和形式化的例子要尽可能回避，多筛选与生活的联系密切的例题，通过问题的解答过程凸显概念本质，生动活泼的数学思维活动应该为学生所认识和体验，这就是概念生成的成熟表现.熟悉的情景、鲜活的生活素材，激发了学生的兴趣和积极思考，润物细无声地融入教学中. 学生在运用概念时不但“知其然”也“知其所以然”，体验到成功的喜悦，并进一步转化为学习的动力，投入到提炼概念并不断完善概念的过程中.
在复习“方程”这个概念时，学生研究一元二次方程，得到其求根公式、韦达定理等结论；研究分式方程得到化分式为整式的经验，注意分母不为零；在研究无理方程时知道要考虑有理化和其存在的意义. 通过这些结论的对比分析，得到解方程的本质就是同解变形. 这些结论的生成和知识现象背后的本质不是教师灌输给学生的，而是学生在自主学习、合作研究的过程中探索得到的，对学生来说是原发性、持续性、创造性的知识. 从概念的系统中掌握概念，我们应该在研究获得的结论中进行筛选，提炼出形式最简洁、表征合理、有应用和推广价值的结论进行深度剖析. 一方面从结论的内涵出发，讨论结论成立的充分必要条件，可能引发出的新的结论等；另一方面从结论的外延即应用出发，用此结论解决各种实际或抽象问题，加深对结论的记忆，并体会数学学习的意义.
总之，当数学文化的魅力真正渗入教材、到达课堂、溶入教学时，数学就会更加平易近人，数学教学就会通过文化层面让学生进一步理解数学、喜欢数学、热爱数学. 我们作为地球村的村民，一定要融入世界数学文化，将民族性和世界性有机地结合起来，揭示数学文化内涵，走出数学孤立主义的阴影.