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摘 要：2021年高考全国甲卷理科综合物理试题重视考查考生应用数学工具处理物理问题的核心能力，同时也突出考查考生高效处理“半定量”计算问题的数学处理能力，而这是广大教师平时教学中极易忽视的内容，建议教师要加强对“半定量” 计算问题的研究，重视培养学生的数学估算能力.
关键词：高考试题剖析;“半定量”计算问题;处理方法;学科核心能力
中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）19-0054-03
作者简介：邓贤彬（1973-），男，四川资中人，本科，中学高级教师，研究方向：高中物理教学.
物理学科明确提出高考时着重考查学生的五大核心能力，其中之一就是应用数学处理物理问题的能力[1].遍观近几年高考物理试题，对计算能力的考查有所加强，特别是2021年高考全国甲卷理科综合物理试题，选择题计算化的倾向特别突出，几乎每道题都要通过计算才能得出正确选项，从开头运算到结尾，学生要在本学科规定的几十分钟时间内做完物理试题难度较大，这也是许多考生“惧怕”作答物理试题的原因.
笔者发现，大多数教师在平时的教学中，对于计算问题往往过多强调学生要一步一步地准确计算出结果，以便通过严格训练培养学生良好的计算习惯和精准的计算能力，却忽略或者忽视对学生估算能力的培养，造成学生把只需要通过适当估算就能选出答案的题作为计算题按部就班处理，不仅浪费了大量时间同时也增加了犯错的几率，事倍功半.教师在教学活动中培养学生科学严谨的数学计算能力固然应该，但有意识地总结、归纳“半定量”计算问题的解题技巧和方法，培养学生科学的数学估算能力也是必不可少的，这也是高考物理考查学生必备的数学能力之一.本文以2021年高考全国甲卷理科综合物理试题为例，谈谈试题的“半定量”计算问题，以引起大家注意和足够的重视.
1 2021年高考全国甲卷试题剖析
摘取2021年高考全国甲卷理科综合物理试题如下.
15.“旋转纽扣”是一种传统游戏.如图1，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现.拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为
A.10m/s2 B. 100m/s2
C.1000m/s2 D.10000m/s2
18.2021年2月，执行我國火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m.已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为
A.6×105m B.6×106m
C.6×107m D.6×108m
以上两题的分析和解答过程如下.
第15题解析：由题意知转速n=50rs ，则有ω=2πn=100πrs ，由a=ω2r=（100π）2×1×10-2ms2=100π2ms2，这里需要计算π2的值.
第18题解析：设火星质量为M，火星半径为R，将某物体m置于火星表面，忽略火星自转，则有GMmR2=mg .对于火星探测器，设其质量为m1，距火星表面最近距离为a，最远距离为b，周期为T，则有GMm1a+2R+b22=m12πT2a+2R+b2.
联立以上两式解得b=23gR2T24π2-a-2R，这里需要对根号内数值开3次方.
对于第15题：在计算π2时，有π2=（3.14）2=9.8596≈10，因而a≈1000m/s2.
对于第18题有
23gR2T24π2
=233.7×3.4×1062×1.8×10524π2=
233.7×3.42×1.82×10224π2
为了快速得到近似结果，可以作如下处理：33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，π2≈10，则有
233.7×3.42×1.82×10224π2≈6.8×107，故
b=23gR2T24π2-a-2R≈6×107
以上两题，题目均只求大约值，几个选项给出的数值只是有效数位不同，命题人实际意图是要考查学生对结果进行处理的估算能力.一套高考试题中就有两处考查考生估算能力的试题，可见数学估算能力也是高考考查学生能力的重要内容之一.
2 “半定量”计算问题
2.1 “半定量”计算问题
“半定量”计算问题本质属于计算题.它具有计算题的基本特征，其解法和步骤同计算题一样，即需要利用物理规律列方程或者方程组推导出待求物理量表达式，最后再代入数据计算出结果.这类题的特点是对计算结果的精度要求不高，但对学生处理结果的能力要求较高，主要考查学生灵活运用数学处理计算结果的能力.
2.2 “半定量”问题的表现形式
常以选择题形式考查，题目表述中常有“约多少”“可能”“大于”或者“小于”等字眼.由于“半定量”计算问题属于计算题，因而很多同学会不假思索地把选择题完全当成计算题处理，思维定势使然总是固执地想得到精确的计算结果，因而可能会在计算上浪费大量的时间，结果可能与命题人的命题初衷相去甚远，费力不讨好.
2.3 “半定量”问题的常见类型
第一类是不需要求解待求物理量的精确值，只需要估算出结果的大约值;第二类是判断待求物理量的增大或者减少;第三类是比较量的倍数关系;第四类是定性判断并选择物理量间的关系图像. 3 “半定量”计算问题的处理方法
3.1 求近似值的处理方法
3.1.1 四舍五入法取整处理
对结果进行计算时，经常会遇到一些常数或者常量，在估算时往往需要根据实际情况把它们作近似处理，粗略计算时一般采用四舍五入法取整处理.如自由落体加速度g=9.8m/s2，粗略计算时通常取g=10m/s2;第一宇宙速度v=7.9km/s，粗略计算时通常取v=8km/s;π2在粗略计算时常取10.
3.1.2 灵活选取近似数方便进行开方或者乘方
天体运动问题中经常遇到数的开方或者乘方，这类计算要综合根据表达式中实际数据的特点灵活选取近似数以方便完成开方或者乘方计算.如上第18题中把33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，就是在实际处理时把3.7近似为3.4，1.8近似为2.
3.1.3 放缩法确定开方的取值范围
对于非特殊值的开方，通常利用放缩法估算其取值范围.例如确定7的取值范围.粗略处理：∵2=4<7<9=3，∴2<7<3;如果要进一步缩小取值范围，则需要再逼近被开方数进行估算：因为6.76=2.62<7<2.72=7.29，所以2.6<7<2.7，这样取得的数值范围就更精确了.
例题1 （2016年全国Ⅰ卷 17题）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅使用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A.1h B.4h C.8h D.16h
解析：若三颗卫星恰能实现赤道上任意两点的无线电通讯，三颗卫星的位置如图2所示，由几何关系可得
r=Rsin30°=2R
根据GMmr2=4π2T2mr得
T=2πr3GM，则Tmin24=（2R）3（6.6R）3=13.3 13.3
因为12=14<13.3<11=1，所以24×13.3×2 3.2 差值法比较增量
变化量是物理中较重要的一个概念，许多问题常常需要计算物理量变化，如速度的变化量、能量的变化量、磁通量的变化量等.例如在两物体发生碰撞时，由于满足动量守恒和机械能不增加，即m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2①，12m1v21+12m2v22≥12m1v′21+12m2v′22②，因而在判断碰撞发生的可能性时需要通过估算判断.对于能量能不能增加的判断，用差值法判断能量增量的正负即可.
例题2 质量相等的A、B两球在光滑的水平面上沿同一直线向同一方向运动，A球的动量是7kg·m/s，B球的动量是5kg·m/s.當A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能是
A.pA=6kg·m/s，pB=6kg·m/s
B.pA=3kg·m/s，pB=9kg·m/s
C.pA=-2kg·m/s，pB=14kg·m/s
D.pA=-4kg·m/s，pB=17kg·m/s
解析：根据碰撞前后系统的动量守恒判断，碰撞前系统的总动量是12kg·m/s，碰撞后系统的总动量仍为12kg·m/s，因此排除选项D.设mA=mB=m，则能量的增量ΔEk=p2A2mA+p2B2mB-p2A02mA+p2B02mB.对A项，ΔEk=622mA+622mB-722mA+522mB=-1m<0，即碰撞过程总动能不增加，选项A正确;对B项，ΔEk=322mA+922mB-722mA+522mB=8m>0，即碰撞过程总动能增加，选项B错误;对C项，ΔEk=222mA+1422mB-722mA+522mB=53m>0，即碰撞过程总动能增加，选项C错误.本题A选项正确.
3.3 比值法比较倍数关系
物理题中，遇到同类量比较倍数关系时，常用比值法结合放缩法比较倍数大小关系.
例题3 完全相同的金属小球A和B带等量异种电荷，中间连接着一个轻质绝缘弹簧，放在光滑绝缘水平面上，平衡时弹簧的压缩量为x0.现将不带电的与A、B完全相同的金属球C与A球接触一下，然后拿走，重新平衡后弹簧的压缩量为x，则
A.x=12x0 B. x>12x0
C.x<12x0 D. x=x0
解析：开始时A球处于平衡状态，所受库仑力等于弹簧弹力.设弹簧劲度系数k1，弹簧原长为L，小球带电量为q，则有k1x0=kq2L-x02①，将C球与A球接触后，A球带电量变为原来的一半，达到新的平衡后有k1x=k12q2L-x2②.由②①得xx0=12L-x02L-x2，因为x 3.4 极值法推断物理图像
物理题中经常用图像直观表示物理量间的关系，但描述定性关系的图像不需要精确知道横、纵坐标的具体数值，只是粗略推断图像与坐标轴的交点值、图像的弯曲方向或者因变量的最后极端值等就可以得出选项.对这类问题，可利用物理规律写出物理量间的表达式，再将自变量推向极值就可以估算出因变量的初值和终值，再结合斜率变化定性判断图像的弯曲方向从而可将正确答案选出来.
例题4 如图3所示，一根轻绳跨过光滑定滑轮，两端分别系一质量为m1、m2的物块，m1放在地面上，m2离地面有一定高度.当m2的质量不同时，m1的加速度a的大小也将随之改变.以下四个图像中，最能准确反映a与m2的关系的是
解析：当m2≤m1时，系统静止，a=0，排除B、C;
当m2>m1时，对整体有m2g-m1g=m1+m2a，即a=m2m1+m2g-m1m1+m2g=11+m1m2g-m1m1+m2g.由上面表述式可知，图像不可能是直线型，因此排除A，当m2增大时，a增大，当m2→∞时，a→g.选项D正确.
今年的高考试题，充分说明作为数学处理物理问题的核心能力和考查的数学估算能力也是学生不可或缺的必备能力，教师在今后的教学活动中一定要高度重视对学生这方面能力的培养.
参考文献：
[1]教育部考试中心.高考试题分析（理科综合分册）（2020年版）[M].北京：高等教育出版社，2020.
（收稿日期：2021-07-09）
关键词：高考试题剖析;“半定量”计算问题;处理方法;学科核心能力
中图分类号：G633.7 文献标识码：B 文章编号：1008-4134（2021）19-0054-03
作者简介：邓贤彬（1973-），男，四川资中人，本科，中学高级教师，研究方向：高中物理教学.
物理学科明确提出高考时着重考查学生的五大核心能力，其中之一就是应用数学处理物理问题的能力[1].遍观近几年高考物理试题，对计算能力的考查有所加强，特别是2021年高考全国甲卷理科综合物理试题，选择题计算化的倾向特别突出，几乎每道题都要通过计算才能得出正确选项，从开头运算到结尾，学生要在本学科规定的几十分钟时间内做完物理试题难度较大，这也是许多考生“惧怕”作答物理试题的原因.
笔者发现，大多数教师在平时的教学中，对于计算问题往往过多强调学生要一步一步地准确计算出结果，以便通过严格训练培养学生良好的计算习惯和精准的计算能力，却忽略或者忽视对学生估算能力的培养，造成学生把只需要通过适当估算就能选出答案的题作为计算题按部就班处理，不仅浪费了大量时间同时也增加了犯错的几率，事倍功半.教师在教学活动中培养学生科学严谨的数学计算能力固然应该，但有意识地总结、归纳“半定量”计算问题的解题技巧和方法，培养学生科学的数学估算能力也是必不可少的，这也是高考物理考查学生必备的数学能力之一.本文以2021年高考全国甲卷理科综合物理试题为例，谈谈试题的“半定量”计算问题，以引起大家注意和足够的重视.
1 2021年高考全国甲卷试题剖析
摘取2021年高考全国甲卷理科综合物理试题如下.
15.“旋转纽扣”是一种传统游戏.如图1，先将纽扣绕几圈，使穿过纽扣的两股细绳拧在一起，然后用力反复拉绳的两端，纽扣正转和反转会交替出现.拉动多次后，纽扣绕其中心的转速可达50r/s，此时纽扣上距离中心1cm处的点向心加速度大小约为
A.10m/s2 B. 100m/s2
C.1000m/s2 D.10000m/s2
18.2021年2月，执行我國火星探测任务的“天问一号”探测器在成功实施三次近火制动后，进入运行周期约为1.8×105s的椭圆形停泊轨道，轨道与火星表面的最近距离约为2.8×105m.已知火星半径约为3.4×106m，火星表面处自由落体的加速度大小约为3.7m/s2，则“天问一号”的停泊轨道与火星表面的最远距离约为
A.6×105m B.6×106m
C.6×107m D.6×108m
以上两题的分析和解答过程如下.
第15题解析：由题意知转速n=50rs ，则有ω=2πn=100πrs ，由a=ω2r=（100π）2×1×10-2ms2=100π2ms2，这里需要计算π2的值.
第18题解析：设火星质量为M，火星半径为R，将某物体m置于火星表面，忽略火星自转，则有GMmR2=mg .对于火星探测器，设其质量为m1，距火星表面最近距离为a，最远距离为b，周期为T，则有GMm1a+2R+b22=m12πT2a+2R+b2.
联立以上两式解得b=23gR2T24π2-a-2R，这里需要对根号内数值开3次方.
对于第15题：在计算π2时，有π2=（3.14）2=9.8596≈10，因而a≈1000m/s2.
对于第18题有
23gR2T24π2
=233.7×3.4×1062×1.8×10524π2=
233.7×3.42×1.82×10224π2
为了快速得到近似结果，可以作如下处理：33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，π2≈10，则有
233.7×3.42×1.82×10224π2≈6.8×107，故
b=23gR2T24π2-a-2R≈6×107
以上两题，题目均只求大约值，几个选项给出的数值只是有效数位不同，命题人实际意图是要考查学生对结果进行处理的估算能力.一套高考试题中就有两处考查考生估算能力的试题，可见数学估算能力也是高考考查学生能力的重要内容之一.
2 “半定量”计算问题
2.1 “半定量”计算问题
“半定量”计算问题本质属于计算题.它具有计算题的基本特征，其解法和步骤同计算题一样，即需要利用物理规律列方程或者方程组推导出待求物理量表达式，最后再代入数据计算出结果.这类题的特点是对计算结果的精度要求不高，但对学生处理结果的能力要求较高，主要考查学生灵活运用数学处理计算结果的能力.
2.2 “半定量”问题的表现形式
常以选择题形式考查，题目表述中常有“约多少”“可能”“大于”或者“小于”等字眼.由于“半定量”计算问题属于计算题，因而很多同学会不假思索地把选择题完全当成计算题处理，思维定势使然总是固执地想得到精确的计算结果，因而可能会在计算上浪费大量的时间，结果可能与命题人的命题初衷相去甚远，费力不讨好.
2.3 “半定量”问题的常见类型
第一类是不需要求解待求物理量的精确值，只需要估算出结果的大约值;第二类是判断待求物理量的增大或者减少;第三类是比较量的倍数关系;第四类是定性判断并选择物理量间的关系图像. 3 “半定量”计算问题的处理方法
3.1 求近似值的处理方法
3.1.1 四舍五入法取整处理
对结果进行计算时，经常会遇到一些常数或者常量，在估算时往往需要根据实际情况把它们作近似处理，粗略计算时一般采用四舍五入法取整处理.如自由落体加速度g=9.8m/s2，粗略计算时通常取g=10m/s2;第一宇宙速度v=7.9km/s，粗略计算时通常取v=8km/s;π2在粗略计算时常取10.
3.1.2 灵活选取近似数方便进行开方或者乘方
天体运动问题中经常遇到数的开方或者乘方，这类计算要综合根据表达式中实际数据的特点灵活选取近似数以方便完成开方或者乘方计算.如上第18题中把33.7×3.42≈3.4，1.824≈1，就是在实际处理时把3.7近似为3.4，1.8近似为2.
3.1.3 放缩法确定开方的取值范围
对于非特殊值的开方，通常利用放缩法估算其取值范围.例如确定7的取值范围.粗略处理：∵2=4<7<9=3，∴2<7<3;如果要进一步缩小取值范围，则需要再逼近被开方数进行估算：因为6.76=2.62<7<2.72=7.29，所以2.6<7<2.7，这样取得的数值范围就更精确了.
例题1 （2016年全国Ⅰ卷 17题）利用三颗位置适当的地球同步卫星，可使地球赤道上任意两点之间保持无线电通讯.目前，地球同步卫星的轨道半径约为地球半径的6.6倍，假设地球的自转周期变小，若仍仅使用三颗同步卫星来实现上述目的，则地球自转周期的最小值约为
A.1h B.4h C.8h D.16h
解析：若三颗卫星恰能实现赤道上任意两点的无线电通讯，三颗卫星的位置如图2所示，由几何关系可得
r=Rsin30°=2R
根据GMmr2=4π2T2mr得
T=2πr3GM，则Tmin24=（2R）3（6.6R）3=13.3 13.3
因为12=14<13.3<11=1，所以24×13.3×2
变化量是物理中较重要的一个概念，许多问题常常需要计算物理量变化，如速度的变化量、能量的变化量、磁通量的变化量等.例如在两物体发生碰撞时，由于满足动量守恒和机械能不增加，即m1v1+m2v2=m1v′1+m2v′2①，12m1v21+12m2v22≥12m1v′21+12m2v′22②，因而在判断碰撞发生的可能性时需要通过估算判断.对于能量能不能增加的判断，用差值法判断能量增量的正负即可.
例题2 质量相等的A、B两球在光滑的水平面上沿同一直线向同一方向运动，A球的动量是7kg·m/s，B球的动量是5kg·m/s.當A球追上B球发生碰撞，则碰撞后A、B两球的动量可能是
A.pA=6kg·m/s，pB=6kg·m/s
B.pA=3kg·m/s，pB=9kg·m/s
C.pA=-2kg·m/s，pB=14kg·m/s
D.pA=-4kg·m/s，pB=17kg·m/s
解析：根据碰撞前后系统的动量守恒判断，碰撞前系统的总动量是12kg·m/s，碰撞后系统的总动量仍为12kg·m/s，因此排除选项D.设mA=mB=m，则能量的增量ΔEk=p2A2mA+p2B2mB-p2A02mA+p2B02mB.对A项，ΔEk=622mA+622mB-722mA+522mB=-1m<0，即碰撞过程总动能不增加，选项A正确;对B项，ΔEk=322mA+922mB-722mA+522mB=8m>0，即碰撞过程总动能增加，选项B错误;对C项，ΔEk=222mA+1422mB-722mA+522mB=53m>0，即碰撞过程总动能增加，选项C错误.本题A选项正确.
3.3 比值法比较倍数关系
物理题中，遇到同类量比较倍数关系时，常用比值法结合放缩法比较倍数大小关系.
例题3 完全相同的金属小球A和B带等量异种电荷，中间连接着一个轻质绝缘弹簧，放在光滑绝缘水平面上，平衡时弹簧的压缩量为x0.现将不带电的与A、B完全相同的金属球C与A球接触一下，然后拿走，重新平衡后弹簧的压缩量为x，则
A.x=12x0 B. x>12x0
C.x<12x0 D. x=x0
解析：开始时A球处于平衡状态，所受库仑力等于弹簧弹力.设弹簧劲度系数k1，弹簧原长为L，小球带电量为q，则有k1x0=kq2L-x02①，将C球与A球接触后，A球带电量变为原来的一半，达到新的平衡后有k1x=k12q2L-x2②.由②①得xx0=12L-x02L-x2，因为x
物理题中经常用图像直观表示物理量间的关系，但描述定性关系的图像不需要精确知道横、纵坐标的具体数值，只是粗略推断图像与坐标轴的交点值、图像的弯曲方向或者因变量的最后极端值等就可以得出选项.对这类问题，可利用物理规律写出物理量间的表达式，再将自变量推向极值就可以估算出因变量的初值和终值，再结合斜率变化定性判断图像的弯曲方向从而可将正确答案选出来.
例题4 如图3所示，一根轻绳跨过光滑定滑轮，两端分别系一质量为m1、m2的物块，m1放在地面上，m2离地面有一定高度.当m2的质量不同时，m1的加速度a的大小也将随之改变.以下四个图像中，最能准确反映a与m2的关系的是
解析：当m2≤m1时，系统静止，a=0，排除B、C;
当m2>m1时，对整体有m2g-m1g=m1+m2a，即a=m2m1+m2g-m1m1+m2g=11+m1m2g-m1m1+m2g.由上面表述式可知，图像不可能是直线型，因此排除A，当m2增大时，a增大，当m2→∞时，a→g.选项D正确.
今年的高考试题，充分说明作为数学处理物理问题的核心能力和考查的数学估算能力也是学生不可或缺的必备能力，教师在今后的教学活动中一定要高度重视对学生这方面能力的培养.
参考文献：
[1]教育部考试中心.高考试题分析（理科综合分册）（2020年版）[M].北京：高等教育出版社，2020.
（收稿日期：2021-07-09）