【摘 要】
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微分方程保结构算法的研究始于上世纪80年代,其基本思想是:在处理振荡微分系统解的逼近时,不仅要求数值解从定量的角度能够逼近原有系统的精确解,还期望数值解从定性的角度模拟精确解的性态（尽可能地保持微分系统本身的物理结构和几何特征）.保结构算法以其独特的优势,被越来越多的科研工作者认可,并开启了关于高精度保结构算法的研究.本文的主题是振荡微分方程的保结构算法.基于指数型求积公式和矩阵常数变易公式,针对
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微分方程保结构算法的研究始于上世纪80年代,其基本思想是:在处理振荡微分系统解的逼近时,不仅要求数值解从定量的角度能够逼近原有系统的精确解,还期望数值解从定性的角度模拟精确解的性态（尽可能地保持微分系统本身的物理结构和几何特征）.保结构算法以其独特的优势,被越来越多的科研工作者认可,并开启了关于高精度保结构算法的研究.本文的主题是振荡微分方程的保结构算法.基于指数型求积公式和矩阵常数变易公式,针对一阶和二阶非线性高振荡的微分方程,分别构造并分析了一类显式伪两步指数型Runge-Kutta（EPTSERK）算法和一类显式两步Birkhoff-Hermite（TSBH）算法.论文内容由以下三部分构成.第一部分,介绍振荡微分系统保结构算法的发展背景以及研究现状.第二部分,针对一阶高振荡的微分方程,结合显式伪两步Runge-Kutta方法和指数型Runge-Kutta方法,在满足阶条件的前提下,构造了一类显式伪两步指数型Runge-Kutta（EPTSERK）算法,分析了算法的收敛阶.数值实验的结果不仅验证了算法的效能,还展示出该算法具有较好的长时间行为.第三部分,针对二阶高振荡的微分方程,结合矩阵常数变易公式和Birkhoff-Hermite插值多项式,构造了一类可达任意高阶的显式两步Birkhoff-Hermite（TSBH）时间积分算法,并分析、讨论了该算法的局部截断误差、非线性稳定性和收敛性.将数值算法分别应用于非线性波方程,包括Klein-Gordon方程、Sine-Gordon方程等,对比文献中已有的数值算法,验证了算法的高效性.
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