本文主要研究两个方面的内容:一是平面凸域的弦长分布与平均弦长问题,二是奇异非线性二阶诺伊曼边值问题的正解个数问题.　　 凸域的弦长分布和平均弦长是几何中很有价值的问题,它们也是化学、物理、生物学和建筑学中许多实际问题需要解决的焦点.因此,半个世纪以来它们得到了广泛的关注和研究,形成了许多研究方法,并得到了一些很好的结果,如有关圆、正三角形、矩形以及一般正多边形的弦长分布函数都已经得到.但这些结果的研究对象均是具有较好对称性的简单凸域,因其所用工具限制,计算复杂度大.　　 本文则利用积分几何的理论与方法,通过广义支持函数、最大弦长函数、限弦函数对平面运动公式变形,获得了计算平面凸域弦长分布函数与平均弦长的方法,并将该方法运用到三角形,得到了任意三角形域的弦长分布函数和平均弦长的表达式.　　 诺伊曼边值问题在数学物理方面有重要的应用,例如:关于波束的均衡问题,流体问题和热传导问题等.它在过去的两个世纪吸引了众多数学家的研究,并得出了在多种条件下该问题解的个数及其存在性的结果.　　 本文主要研究奇异非线性二阶诺伊曼边值问题的正解个数.应用比较原理、最大值原理和上界方法得出了在一定条件下,该问题恰好有奇数个正解的结果.