【摘 要】
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令G是一个有限无向简单图.用V（G）和E（G）分别表示图G的顶点集和边集,简记为V和E.若一个森林的每个连通分支都是路,则称该森林为线性森林.若一个森林的每个连通分支都是长至少为k的路,则称该森林为线性k-森林.图G的边分解是指将G分解成子图G1,G2,…,Gm,使得E（G）=E（G1）∪…∪（Gm）,且对任意i≠j,有E（Gi）∩E（Gj）=（?）.图G的线性荫度la（G）是可以将G边分解为m个
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令G是一个有限无向简单图.用V（G）和E（G）分别表示图G的顶点集和边集,简记为V和E.若一个森林的每个连通分支都是路,则称该森林为线性森林.若一个森林的每个连通分支都是长至少为k的路,则称该森林为线性k-森林.图G的边分解是指将G分解成子图G1,G2,…,Gm,使得E（G）=E（G1）∪…∪（Gm）,且对任意i≠j,有E（Gi）∩E（Gj）=（?）.图G的线性荫度la（G）是可以将G边分解为m个线性森林的最小整数m.图G的线性k-荫度lak（G）是可以将G边分解为m个线性k-森林的最小整数m.图的线性荫度概念最早是由Harary在1970年提出的.1980年,Akiyama,Ex-oo和Harary等人提出以下猜想:对于任意△（G）-正则图G,都有la（G）=[△（G）+1/2].随后,有许多学者在此基础上继续研究线性荫度的相关问题,形成了著名的线性荫度猜想:对于任意简单图G,有[△（G）/2]≤lA（G）≤[△（G）+1/2].综合平面图上线性荫度的结果,我们得到对于所有的简单平面图,都有线性荫度猜想成立.2011年,Zhang,Liu和Wu证明了△（G）≥ 33的1-平面图的线性荫度为[△（G）/2];2013年,Zhang和Liu证明了 △（G）≥17的IC-平面图的线性荫度为[△（G）/2].1982年,Habib和Peroche提出线性k-荫度的概念.Jackson和Wormald研究了最大度△（G）≤ 3的图的线性k-荫度问题.Thomassen证明了最大度△（G）≤ 3的图G满足lak（G）≤k,其中k≥ 5.2003年,Lih等学者研究了一般平面图的线性2-荫度问题,证明了一般平面图的线性2-荫度至多为[△（G）+1/2]+12.Wang等学者通过研究环面图的结构性质,证明了环面图的线性2-荫度la2（G）≤[△（G）+1/2]+7.Liu等学者证明了 1-平面图的线性2-荫度la2（G）≤[△（G）+1/2]+7.本学位论文的主要目的是通过对1-平面图和IC-平面图的结构性质的研究,改进线性荫度的已有结果.论文框架结构及内容如下:在第一章中,我们首先给出本文所需要的一些基本概念,简述相关的研究现状以及本文的主要研究成果.2011年,Zhang,Liu和Wu证明了 △（G）≥ 33的1-平面图的线性荫度为[△（G）/2].在第二章中,我们改进了这个结果,证明了如下结果成立:（1）若图G是最大度△（G）≥ 25的1-平面图,则la（G）=[△（G）/2].在第三章中,我们改进了Zhang和Liu关于IC-平面图的结果,证明了如下结果成立.（2）若图G是最大度△（G）≥ 15的IC-平面图,则la（G）=[△（G）/2]在第四章和第五章中,我们通过构造极小反例,探究其结构性质并运用权转移方法,分别证明了以下两个结果成立:（3）若图G是不含4-圈且最大度△（G）≥ 9的IC-平面图,则la（G）=[△（G）/2].（4）若图G是不含5-圈和相邻4-圈的环面图,则la2（G）≤[△（G）/2]+4.
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