【摘 要】
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纠错码是提高信息传输效率与可靠性的重要工具.构造性能良好的线性码类是纠错码研究中的一个基本问题.随着有限交换非链环上纠错码理论的发展,越来越多的编码学者开始研究有限非链环上的线性码.本文研究有限非链环Fq[v]/(vm-v)上线性码的结构性质,主要包括:有限非链环Fq[v]/(vm-v)上常循环码和几种自对偶常循环码的代数结构;有限非链环F2+vF2上几类线性码基于Chinese Euclidea
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纠错码是提高信息传输效率与可靠性的重要工具.构造性能良好的线性码类是纠错码研究中的一个基本问题.随着有限交换非链环上纠错码理论的发展,越来越多的编码学者开始研究有限非链环上的线性码.本文研究有限非链环Fq[v]/(vm-v)上线性码的结构性质,主要包括:有限非链环Fq[v]/(vm-v)上常循环码和几种自对偶常循环码的代数结构;有限非链环F2+vF2上几类线性码基于Chinese Euclidean距离的覆盖半径的上下界;有限非链环Fp+vFp上的(α+βv)-常循环码,及其在非二元量子纠错码中的应用;有限非链环Fp+vF+v2Fp上的MacDonald码及其扭转码在秘密共享方案和结合方案中的应用.具体研究内容如下:第一章介绍有限非链环上线性码的研究背景和研究意义、国内外研究现状,以及本文的主要研究成果概要.第二章讨论有限非链环Fq[v]/(vm-v)上常循环码和几类自对偶常循环码的代数结构,其中自对偶常循环码包括Euclidean自对偶常循环码、Hermitian自对偶常循环码以及Hermitian自对偶常循环码的极大距离可分(MDS)码,给出了环Fq[v]/(vm-v)上常循环码是Euclidean自对偶码的充分条件、Hermitian自对偶码的充要条件,并利用Gray映射构造了有限域Fq上一些参数较好的自对偶码.特别地,我们得到了有限域F192上参数为[16,8,6]一个新的Hermitian自对偶码.第三章给出有限非链环F2+vF2上,其中v2=v.基于Chinese Euclidean距离的线性码,如重复码、单纯型码和MacDonald码的覆盖半径的上下界.第四章研究有限非链环Fp+vFp,其中p是一个奇素数,v2=v,上常循环码的代数结构.在特殊的Gray映射下,环Fp+vF上(α+βv)-常循环码的象是有限域Fp上的(-α(α+β)-常循环码,其中α和β是Fp中的非零元素,并且满足β=-2α.我们利用环Fp+vF上的(1-2v)-常循环码构造了一些新的非二元量子纠错码.第五章研究有限非链环Fp+vFp+v2Fp,其中p是一个奇素数,v3=v,上MacDonald码的代数结构,以及它的扭转码在秘密共享方案和结合方案中的应用.第六章,我们对全文的主要结果进行了总结,列出了我们将进一步研究的关于有限非链环上纠错码理论的几个问题.
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