图论这一学科是应用数学中非常重要的一个分支。图论所涉及的领域极其广泛,众多领域的研究工作者都对其进行了深入研究。为了对图的性质进行研究,人们把邻接矩阵和拉普拉斯矩阵引入了进来。这两种矩阵都与图的结构有着密切的联系。综合对比图的拉普拉斯矩阵特征值、邻接矩阵特征值,前者与图性质结构有密切关系,它反映了图的图论性质,所以很多学术研究围绕拉普拉斯矩阵特征值展开一系列讨论和分析,并得到丰富的研究成果。不难看出近些年有关拉普拉斯矩阵特征值研究已经成为热门课题,学者们从不同视角展开了研究和分析,得到较多研究结果,为本文研究奠定了理论基础。设G是一个n阶连通图,mG（I）是G在区间I上的拉普拉斯特征值的个数。如果对于一个实数λ,有I={λ},那么mG（λ）就是λ作为G的拉普拉斯特征值的重数。众所周知,G的拉普拉斯特征值都在区间[0,n]内。拉普拉斯特征值在[0,n]上长度为1的最小子区间[0,1)中的分布已经引起了大量的关注。特别地,Hedetniemi等人已经证明了如果G的支配数为γ,那么mG[0,1)≤γ。我们感兴趣的是另一个极端问题:拉普拉斯特征值在长度为1的最大子区间(n-1,n]中的分布。在本文的第一章中,我们首先引入了一些相关问题的基本概念,接着回顾了图论的发展过程并介绍了本文所研究问题的背景和进展。在本文的第二章和第三章中,我们主要证明了mG(n-1,m]≤κ和mG(n-1,n]≤χ-1,其中,κ和χ分别是G的点连通度和色数。本文的另外两个主要结果是关于mG（λ）的,即G的任意拉普拉斯特征值λ的重数。在本文的第四章中,我们主要证明了mG（λ）≤n-γ。在本文的第五章中,我们主要证明了mG（λ）≤Δ/Δ+1n以及该不等式等式成立的情况。