二阶微分方程按极限点型或极限圆型的分类问题是由H．Weyl最早提出并进行研究的．他指出，二阶线性常微分方程可分为两类：极限圆型与极限点型．若方程的每一解都是平方可积的，则称此方程为极限圆型，否则，称为极限点型． 常微分方程解的有界性问题最早是在研究生物学，生态学，生理学，物理学，神经网络等问题中提出的，是常微分方程研究中一个十分重要的领域．本文利用推广的具有偏差变元的积分不等式，结合不等式的一些技巧以及常微分方程的相关知识对一类二阶具有偏差变元的微分方程及一类二阶差分方程极限圆型的分类问题作了相关的研究工作，并且讨论了一类n阶具有偏差变元的常微分方程解的平方可积性与有界性和一类二阶非线性具有偏差变元的微分方程解的有界性． 根据内容本文分为五章． 本文第一章是绪论，概述了本文的研究背景． 本文第二章，在0≤t<+∞上我们考虑二阶方程：这里r(t)>0是R+=[0，+∞)上的绝对连续的实函数，a(t)，b(t)是R+实连续函数，φ(t)是连续可微函数且满足φ(t)≤t，φ(t)>0，limt→∞φ(t)>0，fi(t，x，y)为定义于[0，+∞)×R2。上的实连续函数．方程(2.1.1)或(2.1.2)称为极限圆型的(简记为L.C)，如果(2.1.1)或(2.1.2)的所有解均属于L2[0,+∞)；方程(2.1.1)或(2.1.2)称为拉格朗日稳定的(简记为L·s)，如果(2.1.1)或(2.1.2)的所有解在[0,+∞)上保持有界． 本章利用文[9]中推广的不等式，证明了在一定条件下，方程(2.1.2)属于L.S∩L.C的问题可由方程(2.1.1)属于L.S∩L.C来判定． H.Weyly讨论了若方程：x"+α(t)x=0，是L．C的，则当b(t)=0(1)时，方程：(2.1.3)x"+[α(t)+b(t)]x=0,(2.1.4)也是L．C的． 1985年，欧阳亮[2]研究了方程(2.1.1)及方程(r(t)x)+[α(t)+b(t)]x=0，(2.1.5)得出:如果方程(2.1.1)属于L.S∩L.C且｜b(t)｜∈Lp[0,+∞)P≥1)，则方程(2.1.5)也属于L.S ∩ L.C2001年，徐润[8]证明了在一定条件下，方程(r(t)x)+(α(t)+b(t))x=f(t，x(t)，x(φ(t))) (2.1.9)属于L.S∩L.C的问题可由方程(2.1.1)属于L.S∩L.C来判定． 当方程(2.1.2)中，r(t)≡1，fi(t，x(t)，x(φ(t)))≡0，(i=1，2…，m)时即为方程(2.1.4)；当，fi(t，x(t)，x(φ(t)))≡0，时，方程(2.1.2)即为方程(2.1.5)；当方程(2.1.2)中m=i时，方程(2.1.2)即为方程(2.1.9)．因此本文的结果是前述文献中结论的推广． 本文第三章，在0≤t<+∞上我们考虑n阶微分方程：这里r(t)>0连续可微，t ∈R+=[0，+∞)，αi(t)在R+上连续(i=0…，n-2)，f(t，x，y)是定义在R+×R×R上的连续函数，且假定方程(3.1.1)满足Cauchy问题的局部存在性，φ(t)是连续可微函数且满足φ(t)≤t，φ(t)>0，limt→∞φ(t)>0. 本文的主要目的是借助于文[9]中推广的具有偏差变元的积分不等式，讨论了方程(3.1.1)的解属于L2[0，+∞)及有界的条件． 本文第四章，讨论了二阶差分方程x(n+2)+q(n)x(n+1)+p(n+1)x(n)=0 (4.1.1)x(n+2)+q(n)x(n+1)+p(n+1)x(n)=f(n) (4.1.2)其中n∈Nn0={n0，n0+1,…｝no∈N，q(n)，p(n)，f(n)是定义在N上的实序列的极限圆型的分类问题,借助于辅助函数获得方程(4.1.1)，(4.1.2)是极限圆型的若干充分条件及(4.1.1)，(4.1.2)的解有界的判定准则．考虑二阶差分方程(4.1.1)，(4.1.2)的极限圆型的分类问题，在差分算子理论及按差分方程的特征函数展开理论中有重要应用，关于这类问题已早有研究．欧阳亮在文[3]中研究了一类二阶微分算子的有界和极限圆型问题，得到了方程所有解有界的充要条件，并且得到了带摄动项的二阶微分方程所有界有界的充分条件．程远纪在文[4]给出了判断一类二阶微分方程属于极限圆型或有界的准则．孟凡伟在[5]中给出了二阶非齐次微分方程属于极限圆型的判定．本文的主要目的就是讨论差分方程(4.1.1)，(4.1.2)的类似性质，目前这方面结果不多． 本文第五章，利用带有偏差变元的积分不等式研究下列二阶非线性具有偏差变元的微分方程解的有界性(α(t)x(t))+f(t，x(t),x(φ(t)))=0.(5.1.1)其中φ(t)是一连续可微函数且满足φ(t)≤t，φ(t)>0，φ(t)最终为正．在本章最后，我们还给出一个例子来说明我们所得结果的有效性．