【摘 要】
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在孤立子理论中,可积系统作为其中一个重大研究课题,一直以来都备受国内外专家学者的关注.自二十世纪九十年代以来,人们在研究浅水波运动时发现了Camassa-Holm方程.近些年,人
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在孤立子理论中,可积系统作为其中一个重大研究课题,一直以来都备受国内外专家学者的关注.自二十世纪九十年代以来,人们在研究浅水波运动时发现了Camassa-Holm方程.近些年,人们对Camassa-Holm方程这一具有尖峰孤子解的可积系统产生了浓厚的兴趣,而且这个方程的一些重要特性促使更多学者去研究尖峰孤子解及其性质,也更加丰富了孤立子理论和可积系统理论.随着对此方程的深入研究,人们又陆续发现了其它具有类似性质的可积系统,如Degasperis-Procesi方程,修正的Camassa-Holm方程等.本文主要研究带有二次和三次非线性项的组合方程mt+k1[m(u2-u2x)]x+k2(3umx+mxu)+bux=0,m=u-uxx,其中k1, k2, b都是任意常数.这个模型也可以看做是一类推广的Camassa-Holm型方程.本文结构安排如下：第一章简要介绍推广的Camassa-Holm型方程的研究背景,预备知识以及本文的主要研究内容.第二章介绍推广的Camassa-Holm型方程在b=0情况下的单尖峰孤子解,并给出一些解的具体形式.第三章讨论当b=0时组合方程的双尖峰孤子解,特别地,也给出了双尖峰孤子解动力系统的表达式,并对k1,k2取不同值时方程解的情况做了详细分析.当b=0,k2=0时方程为修正的Camassa-Holm方程,其解的碰撞与Camassa-Holm方程是不同的.最后,总结全文,并对后续研究进行展望.
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