本文研究了水波方程的一些性质,主要包括适定性,驻波的轨道稳定性和呼吸子解的非线性稳定性等.全文共分为三章.第一章,我们研究了非线性分数阶薛定谔方程其中(-△)α表示阶数为α的拉普拉斯算子,0<α<1,s≥3/2-2α.当N=1时,运用适当的迭代方法,我们推广了文献[1]中Guo和Huo的结果,并得到了非线性分数阶薛定谔方程的全局适定性.当N≥ 2时,通过在空间Hs(RN)(0<s<1)中构建有界序列分解,我们得到了上述方程驻波的轨道稳定性.第二章,我们研究了负流mKdV方程.我们运用双线性方法给出负流mKdV方程的呼吸子解.并根据负流mKdV方程的Lax对,我们导出了它的无限守恒量.最后,我们通过构建新的李雅普诺夫泛函获得了负流mKdV方程呼吸子解的非线性稳定性.第三章,我们先结合耦合mKdV方程的Lax对,呈现了方程的无限守恒量.然后,我们利用守恒量构建了新的李雅普诺夫泛函.最后,我们获得了耦合mKdV方程呼吸子解的非线性稳定性.