奇异积分与奇异积分方程广泛地出现于数学物理、流体力学、断裂力学、电磁力学、化学、生物工程和石油工程等诸多学科和工程的数学模型中.由于这些数学模型大多是由实际问题转化而来的,要想达到对实际问题估算的目的,计算奇异积分以及求解奇异积分方程就成为研究数学模型的重要内容.本文主要介绍奇异积分以及奇异积分方程的数值算法.本文主要研究了以下几个方面的内容:1.简要介绍了边界元方法及其优点、奇异积分与奇异积分方程的研究背景和意义以及含Volterra型算子的积分方程的研究背景和意义三方面的内容.2.研究了计算超奇异积分的数值方法.在积分算子的奇异点为被积区间内任意一点的情况下,推导了该类超奇异积分的误差渐近展式（Euler-Maclaurin展式）以及求积公式.根据该误差渐近展式以及求积公式的特点,推导了相应求积公式的外推公式,并给出了相应公式的误差估计式.3.研究了混合奇异积分的数值算法.该类混合奇异积分是指包含超奇异性和对数奇异性两种奇异类型的积分.依据超奇异积分的Euler-Maclaurin展式关于参数的解析性质,推得该类混合奇异积分的Euler-Maclaurin展式,还得到了对数奇异积分的误差渐近展式.4.提出了平面定常Stokes方程的数值解方法.通过应用单层位势理论和Stokes方程基本解的方法,将平面定常Stokes方程转化为第一类的边界积分方程.该类积分方程是具有对数奇异性的奇异积分方程,该类积分方程求解的数值方法分以下两种情况讨论:一种情况是积分边界为光滑闭曲线Γ时,给出了奇异积分方程的机械求积法、误差渐近展式以及机械求积法的Richardson外推公式,并由误差渐近展式得到机械求积法的误差估计式.另一种情况是积分边界为分片光滑闭曲线Γ=∪_m=1^dΓ_m（即曲线所围区域是多角域）时,给出了奇异积分方程的机械求积方法、多变量近似误差展式以及分裂外推公式,同时还由多变量近似误差展式得到了机械求积法的后验误差估计.机械求积法（MQM）的收敛性由Anselone的聚紧收敛理论及渐近紧理论给予了证明.5.介绍了第二类非线性的Volterra弱奇异积分方程的数值解方法.当第二类非线性的Volterra奇异积分方程满足Lipshitz条件时,应用Gronwall不等式和Laplace变换及其反演变换方法,证明了该类奇异积分方程解的存在唯一性.还给出了求解该类奇异积分方程的数值方法（修正的梯形求积法）以及其外推方法,同时还给出相应公式的误差估计式.