伴随着计算机运算能力的突飞猛进，流体问题的数值模拟日益成为分析和设计工作中必不可少的工具之一，在工程、环境、生物、医药等诸多领域都有着广泛而重要的应用.在过去的30年间，人们相继提出并分析了一系列的数值方法，如有限差分法、有限体积法、有限元法、样条配置法、谱方法等.其中，有限元法由于具有灵活和高精度的特点，已经成为求解实际问题最强有力的数值计算工具.然而，构造高效、高精度的有限元格式仍是一项极具挑战性的工作。　　 众所周知，在求解流体问题时，标准Galerkin有限元方法经常会产生数值不稳定性，从而导致求解失败.这主要有两方面的原因:一是流动控制方程中存在对流项，这会引起速度场的虚假振荡.当处理高Reynolds数问题时，或者当具有大梯度特性的边界层出现时，这种振荡现象尤为明显.二是速度场和压力场插值函数的不当组合.在求解时，压力充当Lagrange乘子，这迫使流动满足不可压约束，因而要求速度和压力插值函数的选取必须满足LBB条件.不幸的是，这一约束排除了许多简单的低阶速度-压力插值空间.然而，从工程学的角度来说，速度场和压力场采用等阶插值更容易与并行技术和多重网格技术相结合，因而更为实用。　　 在相应的变分格式中引入某些额外的稳定项是解决上述两大难题的有效技术途径之一.经典的稳定化技术包含Petrov-Galerkin(SUPG)型和最小二乘型(GLS)两种.这类方法通过引入基于残差的稳定项来强化稳定性.大量的数值实验表明，这类方法可以同时克服由对流占优引起的不稳定性和由速度-压力耦合引起的不稳定性.尽管经典的稳定化方法在理论和应用方面取得了长足的进展，我们可以在最近的文献中发现对该类方法的负面评价[14，23，60].基于残差的稳定化方法的一个本质性的缺陷在于，为了保证数值格式的相容性，我们必须添加一些强耦合项.这一困难在求解具有可压缩特性的复杂流体时表现尤为突出.另外，将这种方法推广到发展方程时，还会出现一些新的问题.有关这类问题的详细论述，请参阅文献[14]。　　 最近，由Douglas和Dupont[45]等人创造性地提出的连续内罚有限元(CIP)方法，为解决数值不稳定问题提供了一种新的途径.其核心思想在于，通过对数值解在单元边界上的梯度跳跃进行加罚，我们可以有效地避免标准Galerkin有限元方法所产生的数值不稳定性.其理论依据在于，稳定化算子可以用来控制方程的所有的非对称的一阶算子，并且它只控制算子不在有限元空间的那一部分.从这个意义上说，CIP方法是一类如文[18]所述的极小稳定化方法.在文献[25]中，针对高Peclet数问题，Burman和Hansbo给出了理论分析，同时，文献[26]证明，采用等阶插值离散Stokes方程时，CIP方法满足inf-sup稳定性.在文献[23]中，Burman，Fernández和Hansbo进一步将这一方法推广到Oseen方程.他们得到了与局部Reynolds数无关的误差估计.随后，在文献[11]中，Bonito和Burman又采用这一方法处理了Oldroyd-B模型.另外，文献[19]表明，CIP方法将协调的和非协调的稳定化有限元方法自然的联系在了一起。　　 与经典的稳定化方法相比，CIP方法具有显著的优势.其原因主要在于，稳定项与残差所包含的各项无关，因而不依赖于时间导数、源项和高阶导数项.这使得时空离散可以交换，并且保证了CIP方法可以和任意的时间离散格式相结合.同时，CIP方法的稳定化算子都是对称的，这一点特别有利于求解最优化问题和构造解算子[13].CIP方法的另一大优势在于，稳定参数与扩散系数无关.当我们考虑扩散系数与离散解相关的非线性问题时，这一点就显得尤为必要.　　 在本文中，我们采用CIP方法研究了流体力学中的几类典型方程:Sobolev方程，Stokes方程，Darcy-Stokes方程和Navier-Stokes方程.对于上述方程解的所有分量，我们都采用连续分片多项式逼近.与文献[19，23]相同，我们采用罚函数法处理边界条件.理论分析和数值试验表明，CIP方法是处理流体问题的有效工具。　　 全文分为四章。　　 第一章：研究了对流占优的Sobolev方程.此类方程在流体穿过裂缝岩石的渗透理论[7]，热力学[36]等许多数学物理方面有着广泛的应用.关于方程解的存在唯一性结果，参见文献[41，47].在很多情况下，我们需要考虑对流占优的Sobolev方程.在这一章中，我们针对此类方程提出了隐式的和半隐式的CIP有限元格式.通过控制解的梯度在单元边界上的跳跃，我们强化了离散格式的稳定性.我们分析了几类(d)-稳定化的时间步格式，并证明这几类格式是无条件稳定的且具有最优收敛性.众所周知，基于解的梯度跳跃的稳定项将导出一个扩张的矩阵模板.然而，我们证明在某些情况下，可以对这一稳定项采用时间外推技术，也就是说，在不损失稳定性和精确性的情况下，我们可以对稳定项进行显式或者半隐式的处理。　　 第二章：研究了Stokes问题的三种不同的形式:速度-压力-梯度形式，伪应力-速度形式以及速度-应力-旋度形式.在当今社会，不可压牛顿流的数值模拟在众多的工业领域发挥着至关重要的作用，吸引了众多学者的关注.过去，人们致力于构造基于原始变量形式（速度-压力形式）的有限元方法.然而，在很多应用中，比如处理紊流或者非牛顿流时，速度梯度或者应力张量才是更为重要的未知量.因而，引入速度梯度或者应力张力有其必然性.这样做，有效地提高了离散解的精度.事实上，当通过对速度的有限元逼近解进行数值微分运算来获得速度梯度的近似时，我们不可避免的要损失精度.在此，我们采用CIP方法求解上述三种形式的Stokes问题.所有的未知量均采用连续分片k≥1次多项式来逼近.理论分析表明，这些有限元格式是稳定的，并且当精确解充分光滑时，具有次优阶精度。　　 第三章：研究了Darcy-Stokes方程.Darcy-Stokes方程在水文学，环境科学和生物流体力学的研究中有着广泛的应用，因而成为了学术研究的热点领域.该模型由流体区域的Stokes方程和多孔介质中的Darcy方程构成.而界面条件由质量守恒，法向力平衡和Bcavers-Joseph-Saffman条件构成.由于Stokes方程和Darcy方程有着完全不同的正则特性，并且切向速度在两区域的界面上可能存在间断，因而为这一耦合问题构造稳健精确的有限元格式不是一件简单的事.在这一章中，我们仅考虑多孔介质完全被流体区域围绕的模型，给出了相应的耦合问题的稳定化格式.此类方法对两大区域中的速度和压力同时采用标准的连续分片线性元逼近，而对Lagrange乘子采用分片常数或者连续分片线性元逼近.其优点在于不要求网格剖分在界面上匹配.我们讨论了这类方法的稳定性和收敛性，得到了先验的误差估计。　　 第四章：研究了Navier-Stokes方程.针对二维非稳态Navier-Stokes方程，我们提出了一个全离散的稳定化有限元格式.其中，在时间方向上，我们采用Euler隐/半显格式和Euler隐/显格式近似.在空间方向上，我们采用CIP方法进行离散.在这里，我们采用连续的分片k≥1次多项式逼近速度和压力.通过引入一个可以控制解的梯度在单元内边界上的跳跃的最小二乘项，我们保证了离散格式的稳定性，得到了一个与局部Reynolds数无关的误差估计.最后，我们通过两个数值算例验证了离散格式的有效性和可行性。