【摘 要】
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群表示理论是代数学很重要的研究分支,在不同的域上,有关群表示理论的研究成果有很多.而在群表示的分类上,已知的结果有:在复数域上,根据Frobenius-Schur指数的取值不同,将群
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群表示理论是代数学很重要的研究分支,在不同的域上,有关群表示理论的研究成果有很多.而在群表示的分类上,已知的结果有:在复数域上,根据Frobenius-Schur指数的取值不同,将群的不可约表示分为三类:实型表示,复型表示,四元型表示.类比实型表示的定义,在域扩张L/K下,本文定义了 K型表示,并且得到了与K型表示相关的一些性质.本文主要得到了如下结果:一、若G为有限群,域L是域K的扩域,Gal(L/K)为伽罗瓦群,σ∈Gal(L/K),(ρ,V)是群G的一个表示,在此基础上定义(ρσ,Vσ)是群G的一个新表示,这两个表示同构当且仅当表示(ρ,V)的特征标χ(ρ)属于K.通过在表示(ρ,V)上定义伽罗瓦结构,得到了 K型表示的判定条件:如果该表示上带有Gal(L/K)-结构,则该表示是K型表示.二、对于n阶循环群,计算其在复数域、实数域的不可约表示,并对复数域下的不可约表示进行了完全分类:当有限群G的阶数是奇数时,一个是实型表示,其余n-1个表示均为复型表示.有限群G的阶数是偶数时,两个是实型表示,其余n-2个表示均为复型表示.而在实数域上给出了有理型表示的判定条件.三、此外,计算了特殊阶数的循环群在有理数域下的所有不可约表示及其在有限域下的不可约表示个数的相关结果.
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