【摘 要】
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令G是一个有限简单无向图.用V（G）,E（G）,Δ（G）和δ（G）分别表示图G的顶点集、边集、最大度和最小度.令g1,g2,…,gm表示m个图类.若能把G的顶点集合V划分为m个不交的子集V1,V2,…,Vm,使得对于每个1≤i≤m,由Vi导出的子图G[Vi]属于图类gi,则称G有一个（g1,g2,…,gm）-分解.为了方便,用F,L和Fd分别表示森林、独立集和最大度至多为d的森林.图G的点荫度va
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令G是一个有限简单无向图.用V（G）,E（G）,Δ（G）和δ（G）分别表示图G的顶点集、边集、最大度和最小度.令g1,g2,…,gm表示m个图类.若能把G的顶点集合V划分为m个不交的子集V1,V2,…,Vm,使得对于每个1≤i≤m,由Vi导出的子图G[Vi]属于图类gi,则称G有一个（g1,g2,…,gm）-分解.为了方便,用F,L和Fd分别表示森林、独立集和最大度至多为d的森林.图G的点荫度va（G）为图G的最小顶点划分数使得任一划分点集的导出子图都是一个森林.这一概念由Chartrand,Kronk和Wall于1968年首次提出.他们证明了对于任意图G,有va（G）≤[△（G+1）/2].此外,若G是一个平面图,则va（G）≤3.2008年,Raspaud和Wang从染色的角度给出了点荫度的等价定义.图G的k-森林染色是指存在映射π:V（G）→{1,2,…,k},使得每种颜色的点导出子图都是一个森林.G的点荫度是指G有一个k-森林染色的最小正整数k.若对任意的顶点色列表配置L={L（v）| v ∈V（G）},图G都有一个森林染色π,使得对任意一个顶点v∈ V,都有π（v）∈ L（v）,则称G是L-森林可染的.若对于任意列表|L（v）|≥ G是L-森林可染的,则称G是k-列表森林可染的.G的列表点荫度是指G是k-列表森林可染的最小正整数k,用val（G）表示.本文,我们着重研究环面图的顶点森林分解问题,共分为三章.在第一章中,首先给出与本文相关的基本概念,然后概述该领域已有的研究成果,并给出本文的主要结果.在第二章中,我们研究了环面图的列表点荫度问题,证明了每个不含K5和6-圈的环面图G满足val（G）≤ 2.我们将给出例子说明K5和6-圈这两个条件缺一不可.在第三章和第四章中,我们考虑最大度受限制的森林分解问题,证明了每个不含4-圈和6-圈或不含4-圈和7-圈的环面图都具有（F,F3）-分解.
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