随着社会的蓬勃发展和科学技术的日益进步，社会科学和工程技术以及自然科学的诸多领域中（如物理学、经济学和生态学等等）都提出了许许多多的非线性的问题.非线性泛函分析—这个现代分析数学中极为重要的一个分支，就这样在一代又一代的学者们解决这些非线性问题的过程中产生了.非线性泛函分析作为一门研究性学科，它不仅具有非常深刻的意义，而且还有极其广泛的应用背景.它以数学以及自然科学中经常出现的非线性问题为背景，建立起一系列的处理非线性问题的一般性理论和方法，非线性泛函分析的主要内容包括拓扑度理论、锥理论、临界点理论和单调算子理论等等.利用它的知识系统可以很好的解释自然界中各种各样的自然现象，并且它的丰富理论和先进方法为解决当今科技领域中层出不穷的非线性问题提供了富有成效的理论工具.在处理实际问题所对应的各种非线性积分方程，常微分方程和偏微分方程中它都起着不可替代的作用.并且其研究成果也广泛应用于计算数学、控制理论、最优化理论、动力系统以及经济数学等诸多学科中.　　边值问题是非线性常微分方程和非线性偏微分方程理论研究中极为活跃且成果丰硕的领域，它源于应用数学、物理学和控制论等应用学科，因此，边值问题的研究具有重要的理论意义和应用价值.因为边值问题的正解一般都是最有实际意义的一类解，因此在研究边值问题的过程中，学者们最注重研究的就是正解.学者们在研究的过程中一般先将微分方程的正解的存在性问题转换成积分算子在锥上的不动点是否存在的问题.而非线性泛函分析中的不动点指数理论和拓扑度理论正好能够很好地运用到解决不动点是否存在的问题中去，其中Schauder不动点定理，Krasnoselskii不动点定理和Leggett-Williams不动点定理以及它的推广形式-5泛函不动点定理是最常用的工具.　　虽然有很多学者对两点甚至多点边值问题尤其是对其正解的存在性问题进行了深入的研究，研究成果也相当丰硕，但是由于上面那些最常用的不动点定理都有着很多的条件限制:首先非线性项必须是连续的，其次Green函数也需要满足特定的假设条件，这样就使得它们的适用范围具有一定的局限性.因此，到现在为止仍然存在许多很有挑战性的问题没有解决.本文正是在前人研究的基础上拓宽了一些限制条件，使得条件更加一般化，进而改进并推广了他们的结果.　　本文一共分为四章.在这四章中，我们利用锥上的不动点指数理论分别在第一章讨论了一类广义Lidstone方程边值问题正解和多解的存在性，以及正解的唯一性;在第二章研究了一类四阶常微分方程组边值问题正解的存在性;在第三章证明了一类四阶p-Laplacian方程边值问题正解的存在性;在最后一章验证了一类四阶p-Laplacian方程组边值问题正解的存在性.　　在第一章中，我们研究如下一类广义Lidstone方程边值问题正解和多解的存在性，以及正解的唯一性{（-1）nu(2n)=f(t，u，-u"，…，（-1）n-1u（2n-2）），αiu(2i)(0)-βiu(2i+1)(0)=0,(i=0,1，…，n-1），γiu(2i)(1)+δiu(2i+1)(1)=0，(i=0,1，…，n-1),其中f∈C（[0，1]×Rn+，R+），αi，βi，γi，δi≥0，(i=1，2，…，n），△i=αiδi+βiγi+αiγi＞0.本文在较为广泛的条件下，改进和推广了原有的结果.边界条件如此复杂的文献极少，本文思想来源于文[5]，但是本文条件比文[5]更加一般，因此本文所得结果进一步推广了文[5]中相应的结果.作为运用，我们将所得结果应用于第二章中四阶常微分方程组边值问题和第三章的四阶p-Laplacian边值问题.　　在第二章中，我们研究如下一类四阶常微分方程组边值问题正解的存在性{u(4)=f1（t，u，-u"，v，-v"），v(4)=f2(t，u，-u"，v，-v")，,αiu(2i)(0)-βiu(2i+1)(0)=γiu(2i)(1)+δiu(2i+1)(1)=0(i=0,1),αiv(2i)(0)-βiv(2i+1)(0)=γiv(2i)(1)+δiv(2i+1)(1)=0(i=0,1),其中f1，f2∈C（[0，1]×R4+，R+）（R+:=[0，＋∞）），αi，βi，γi，δi≥0，(i=1，2），且△i=αiδi+βiγi+αiγi＞0.本章在第一章的基础上，并沿用了文[8]的处理方法，即利用线性函数和非负矩阵来刻画非线性项的增长和耦合行为.与第一章不同的是，为了降低降阶的困难，我们这里讨论的方程组中每个方程只有四阶.因为降阶之后的积分-积分方程组与原来的四阶方程组是等价的，因此我们只需通过研究降阶之后的积分-积分方程组即可获得原问题正解是否存在的问题.　　在第三章中，我们研究如下一类四阶p-Laplacian边值问题正解的存在性{(|u"|p-1u")"=f（t,u，-u"），a1u(0)-b1u(0)=c1u(1)+d1u(1)=0,a2(-u")p(0)-b2（（-u"）p）(0)=c2(-u")p(1)+d2((-u")p）(1)=0,其中p＞0，f∈C([0，1]×R2，R+)，ai，bi，ci，di≥0，(i=1，2)，δi=aidi+bici+aici＞0.该问题的想法来源于第一章和[14].我们注意到，该问题是p=1时对应的四阶常微分方程边值问题的一个扰动，沟通这两个问题的桥梁是Jensen不等式.基于利用Jensen积分不等式进行的先验估计，我们利用不动点指数理论证明了上述问题正解的存在性.本文在较为广泛的条件下，改进和推广了原有的结果.　　在第四章中，我们研究如下一类p-Laplacian方程组边值问题正解的存在性{（|u"|p-1v"）"=f1(t，u，v)，(|v"|q-1v")"=f2(t,u,v),u(2i)(0)=u(2i)(1)=0,i=0,1,v(2i)(0)=v(2i)(1)=0,i=0,1,其中p，q＞0，f1，f2∈C([0，1]×R+，R+).该问题的想法来源于[8，14]，[14]研究的是单个四阶p-Laplace方程边值问题正解的存在性，而我们研究的是一个四阶p-Laplacian方程组边值问题，我们注意到，该问题是p=1，q=1时对应的四阶常微分方程组边值问题的一个扰动，沟通这两个问题的桥梁是Jensen不等式，我们正是利用Jensen积分不等式对上述边值问题的各种辅助问题的正解做先验估计，将该问题变为与之等价的积分-积分方程组，然后利用[8]中用线性函数和非负矩阵刻画非线性项增长与耦合行为的方法，证明了该问题正解的存在性.