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本文研究一类三次多项式Liénard系统
Liénard系统在机械振荡,化学反应,无线电电子线路,人口动力学,神经刺激和非线性力学等许多实践领域中都有着广泛的应用,它可以用来描述心脏的跳动,电路的循环。传送带的作业以及通讯设备的工作状况等,并逐渐发挥更大的作用.Liénard系统包含许多具有实际应用背景的具体方程为特例,研究它具有一定的实际意义.另外很多多项式系统可以通过适当的变换化为Liénard系统,再利用关于Liénard系统的结果来研究多项式系统极限环的存在性及数目等.
本文根据系统(1)的奇点个数以及类型分为以下四种情况分别进行了考虑,(ⅰ)b2≠0,(ⅱ)b2=0,b1=0,b3≠0,(ⅲ)b2=0,b1b3>0,(ⅳ)b2=0,b1b3<0.本文用到的主要方法是Filippov变换和张芷芬定理,在张芷芬定理[5]的基础上,对该定理做了一定的推广.
通过对系统(1)的研究,获得了极限环不存在,存在性,唯一性的一些条件,并且给出了一个例子能说明Liénard系统(1)存在三个极限环.
本文主要结论如下:
结论1若a1a3<0或b2=0,则系统(1)在原点邻域内至多存在一个极限环.
结论2当b2=0,
1)若b1=0,b3<0或b1=0,b3>0,a1a3≥0或b1<0,b3<0或b1>0,b3>0,a1a3≥0或b1>0,b3<0,√-a1／a3>√-b1／b3或b1>0,b3<0,a1a3≥0,则系统
(1)不存在极限环.
2)若b1≥0,b3>0且a1a3<0,则系统(1)存在唯一极限环.
3)若b1=-1,b3=1,a1=-√57／2-ε-2δ-γ,a2=2√57／2+δ+2γ或-2√57／2-δ-2γ,a3=-√57／2,γ,其中0<ε<<δ<<γ<<1,则系统(1)存在三个极限环.