【摘 要】
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非线性边值问题源于应用数学,物理学,控制论等多个应用学科中,在非线性扩散、气体动力学、流体力学等学科中有重要应用.因此,研究非线性常微分方程边值问题解的存在性与多解性无论在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义.目前,对常微分方程边值问题的研究大部分集中在低阶常微分方程两点边值问题或多点边值问题,近年来,由于非线性高阶微分边值问题在实际应用上和理论上的重要性,许多文献也开始对高阶微分方程边值问题解
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非线性边值问题源于应用数学,物理学,控制论等多个应用学科中,在非线性扩散、气体动力学、流体力学等学科中有重要应用.因此,研究非线性常微分方程边值问题解的存在性与多解性无论在理论上还是在实践中都有着非常重要的意义.目前,对常微分方程边值问题的研究大部分集中在低阶常微分方程两点边值问题或多点边值问题,近年来,由于非线性高阶微分边值问题在实际应用上和理论上的重要性,许多文献也开始对高阶微分方程边值问题解的存在性和多解性进行了广泛的研究,并获得了很多满意的结果.但大多数作者都是在共轭边界条件或为更简单类型的边界条件之下进行研究,而研究高阶且复杂边值条件的常微分方程边值问题的文章还较少,尤其是在右端边界条件是高阶导数的条件下的边值问题的研究更不多见.本文考虑了一类右端边界条件是高阶导数的2m阶微分方程边值问题,在适当的假设条件下,分别证明了该边值问题在非奇异和奇异情形下正解的存在性,并证明了解的唯一性.同时还给出了该边值问题的多重正解性结果和特征值结果,从而获得了2m阶非线性边值问题关于正解存在性的一些新的研究成果.全文共分四章,其主要内容如下:第一章中,借鉴文献[3]的方法,介绍并推广了一类2m阶的非线性微分方程边值问题的Green函数的求解方法,并建立了Green函数的上下界估计及导数估计.在非线性项f满足适当的条件时,利用Krasnosellskii不动点定理,给出了该边值问题正解的存在性的结论,进一步丰富了相关文献的结果.这部分内容已发表在《大庆石油学院学报》.第二章中,在非线性项满足奇异条件下,通过定义合理的全连续算子,利用截断方法,首先应用Schauder不动点定理,给出了边值问题（1.1）正解的存在性结果,然后运用反证法证明该正解的唯一性.第三章中,在非线性项f满足适当的条件时,利用Krasnosellskii不动点定理,讨论了第一、二章所给边值问题正解的多解性.第四章中研究了偶数阶微分方程的特征值问题,应用锥不动点定理给出了该问题至少有一个正解存在的结果.最后对全文的内容进行总结.
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