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本文主要讨论Riemann-Hilbert方法在可积系统、正交多项式和随机矩阵中的三方面应用。利用Deift-Zhou非线性速降法严格分析了可积系统初值问题解的长时间渐进性为；利用Fokas统一方法,求解高阶非线性方程初边值问题；利用Deift-Zhou非线性速降法研究了随机矩阵中的普适性问题。按照所涉及Riemann-Hilbert问题的阶数分为三章：第二章,主要讨论了Fokas-Lenells方程具有充分衰减初值条件下的解的长时间渐进行为。由于所讨论的Fokas-Lenells方程Lax对是2×2阶的,这意味着所对应的Riemann-Hilbert问题也是2×2阶的。利用非线性速降法,通过跳跃曲线的一系列变换,最终将问题转化为一个可解的标准Riemann-Hilbert问题。最后将标准Riemann-Hilbert问题转化为一个抛物柱面方程,利用该抛物柱面方程的渐进性以及一系列的逆变换反推到Fokas-Lenells方程解的渐进性。第三章,主要是讨论对应于3×3阶谱问题的Sasa-Satsuma方程和三波方程的半直线上的初边值问题。利用Fokas方法将求解这两个方程半直线上的初边值问题转化为相应的3×3阶的Riemann-Hilbert问题。但是对于Sasa-Satsuma方程由于其Lax对中含有导数项,关于这些导数项的边值数据需要事先给出,但是一般而言,我们只需初始值和边界值就可以确定方程的解,也就是说我们需要事先已知的数据“过多”。但是这些“过多”的数据并不是随意给定,初始数据以及所有的边值数据之间满足所谓的全局关系。困难之处在于通过给定的初始数据以及边值数据确定那些“过多”的边值数据。我们在分析Sasa-Satsuma方程时得到了所谓非线性化边界条件。但是三波方程与Sasa-Satsuma方程不同之处在于,三波方程不存在所谓的“过多”边值数据,于是三波方程的分析变得简单,基于三波方程归结的Riemann-Hilbert问题,我们进一步获得该Riemann-Hilbert问题的存在唯一性。第四章,用Riemann-Hilbert方法研究带源随机矩阵模型。我们分析的是当源矩阵具有三个不同特征值时,该随机矩阵模型的关联核在维数n充分大的情形下的极限行为。由于考虑三个不同特征值,其对应的Riemann-Hilbert问题是4×4阶的,而对于这种高阶的Riemann-Hilbert问题的渐进分析是一个难点。我们利用所讨论的特征值的对称性将在分析中起着关键作用的Riemann曲面进行简化,并且分析了当该Riemann曲面的六个分支点全为实数的情况下,模型的关联核的渐进行为。