微分方程在模拟物理学、化学反应、控制工程、生物过程等科学领域的现象中起着重要作用.由于这些现象的多样性,用来描述它们的微分方程也是多种多样的.一般情况下,我们很难获得这些方程的理论解的表达形式.并且由于方程的复杂性,对其理论解性质的分析也具有很大的难度.因此,我们需要借助一些有效的数值方法来获取这些方程的解的信息.本文主要针对几类常微分方程及反应扩散方程构造高效的数值方法并研究其数值解的性质.在第一章,我们首先介绍了与本文选题相关的几类微分方程的应用背景,接着回顾了这几类微分方程的研究现状以及边值方法的发展现状,最后概述了本文的主要研究工作.在第二章,我们考虑了一阶奇异微分方程初值问题的块边值方法.我们证明了在适当的条件下该方法存在唯一解,并且是稳定的和收敛的.数值算例验证了方法的稳定性、有效性和精度.最后我们将其与基于隐式Euler格式的迭代亏损校正方法相比较,数值结果表明块边值方法在计算精度和效率方面是具有可比性的.在第三章,我们分析二阶延迟微分方程初值问题的广义St¨ormer–Cowell方法.我们首先给出该数值方法的唯一可解性条件,接着证明其收敛性和全局稳定性结果.数值试验阐明了方法的精度和有效性.最后我们利用一个变换将原问题转化成等价的一阶延迟微分方程初值问题,并用拓展的梯形公式进行离散.通过比较这两种方法的数值结果,我们知道广义St¨ormer–Cowell方法在计算时间上具有一定的优势.在第四章,我们研究半线性反应扩散方程的紧致边值方法.该方法在空间方向上用四阶紧致差分方法逼近,时间方向上用p阶边值方法离散.我们证明了该方法的局部稳定性和唯一可解性,并且方法具有四阶空间精度和p阶时间精度.将该方法用于求解Fisher方程,可验证方法的计算有效性和精度.此外我们还将其拓展求解二元耦合半线性反应扩散系统,数值结果说明了拓展的方法的有效性和高精度.在第五章,我们构造了半线性对流反应扩散方程的紧致块边值方法.首先我们利用一个指数变换,将原方程转化成等价的反应扩散方程.然后将四阶紧致差分格式和p阶块边值方法结合,构造出求解转化后的问题的高效离散方法.另外,利用指数变换和迭代算法,我们还可以将该方法拓展求解二元耦合半线性对流反应扩散系统.两个数值例子分别验证了该方法在求解对流反应扩散方程和耦合对流反应扩散系统以及相应的转化后的问题的有效性和高阶精度.同时我们还将二阶分块拓展的梯形公式和二阶向后微分公式分别离散时间变量,数值结果表明二阶分块拓展的梯形公式在用于时间离散时具有更好的计算精度.在第六章,我们对本文的工作进行了总结并提出一些将来要研究的问题.