【摘 要】
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分数阶微分方程和分数阶积分方程可以用来描述系统和过程的数学模型.近几十年来发展迅速，大量的研究成果涌现，涉及物理学、化学、空气动力学等多方面.关于微分方程和积分方程解
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分数阶微分方程和分数阶积分方程可以用来描述系统和过程的数学模型.近几十年来发展迅速，大量的研究成果涌现，涉及物理学、化学、空气动力学等多方面.关于微分方程和积分方程解的存在性与唯一性问题,更是得到了众多学者的关注.本文共分为三章:在第一章中,研究了下面的分数阶微分方程的初值问题：其中α <β <ρ, ρ∈(m-1, m), m∈N. f:[0,1]×R×R×R→R是连续可微函数, D~ρ_x表示函数x的ρ阶Caputo导数.研究解的存在性利用了Leray-Schauder非线性替换原理,根据Banach压缩映射原理获得了解的唯一性结论. Caputo分数阶导数和Riemann-Liouville分数阶积分之间的关系在研究过程中起了重要作用.最后给出了一个具体的例子来说明结论.在第二章中,研究了下面形式的分数阶积分方程的Hyers-Ulam-Rassias稳定性和Hyers-Ulam稳定性：其中∈(0,1),0∈(1,2).研究方程解的存在性与唯一性问题,利用Banach不动点定理和广义度量空间上不动点定理.在第三章中,通过对一系列二次积分方程的变量作改进,讨论了下列分数阶积分方程解的存在性问题：其中0<α, β<1.函数f: I×R→R, h:I×I→R_+,g: I×R→R是连续函数,算子H: C(I)→C(I)和T: C(I)→C (I)是连续的.研究解的存在性问题利用了Darbo不动点定理和非紧性测度的有关知识,最后给出了一个具体的例子来说明结论.
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