【摘 要】
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近年来,很从事编码密码理论的研究者将研究的兴趣从有限域上的编码密码理论转移到有限环上,尤其是Z4码的研究,通过Gray映射,将Z4上的码与域上二元码联系起来.该论文主要有以
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近年来,很从事编码密码理论的研究者将研究的兴趣从有限域上的编码密码理论转移到有限环上,尤其是Z4码的研究,通过Gray映射,将Z4上的码与域上二元码联系起来.该论文主要有以下几点:第一,作者定义了环Z<,p>[u]/(u-1)上一个Gray映射,使得该映射是Z<,p>[u]/(u-1)到Z<,p>的距离保持映射,并且通过该映射,由Z<,p>[u]/(u-1)上的码生成矩阵可得到Gray映射下码的生成矩阵.最后,我们得到,如果码C是环Z<,p>[u]/(u-1)上一个循环码当且仅当它的Gray映射像是一个准循环码.第二,作者将码的问题的研究推广的有限环上,得到在Z<,4>环上循环码的迹表示.第三,Li ngsan等人[34]研究了Z<,p>环上的(1-p)-线性循环码,定义了一种Gray映射,研究了Z<,p>环上的(1-p)-线性循环码在Z<,p>环上Gray映射的像.作者在[34]的基础上给出了Z<,p环上的(1-tp)-线性循环码的概念,构造一个同构映射,使Z<,p>环上的(1-p)-线性循环码和Z<,p>环上的(1-tp)-线性循环码之间建立一个环同构映射关系,研究了Z<,p上(1-tp)-线性循环码的一些性质,给出了Z<,p上(1-tp)-线性循环码的生成多项式及码的个数.第四,作者在Galois环GR(q)上定义了Frobenius映射,并在该环上定义了迹码和子环子码的概念,得到了Galois环上的一个码的对偶码的迹码是该码的子环子码的对偶码.这些内容的研究对进一步丰富纠错码在环上的理论及构造一些性能较好的码都有一定的指导意义.
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