【摘 要】
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在本文中,我们主要研究复数域及素特征代数闭域上有限W-代数和有限W-超代数结构及其表示理论的相关问题.研究成果主要有：1.有限W-代数方面的工作第一部分是对复数域上B2型有限W-代数的研究.我们通过计算得到了其具体生成元和关系式,从而完全刻画了此代数的结构.第二部分是对素特征域上限制李代数sl2的约化包络代数的中心结构的研究.本部分利用素特征域上有限W-代数的相关理论,得到了限制李代数sl2关于p
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在本文中,我们主要研究复数域及素特征代数闭域上有限W-代数和有限W-超代数结构及其表示理论的相关问题.研究成果主要有：1.有限W-代数方面的工作第一部分是对复数域上B2型有限W-代数的研究.我们通过计算得到了其具体生成元和关系式,从而完全刻画了此代数的结构.第二部分是对素特征域上限制李代数sl2的约化包络代数的中心结构的研究.本部分利用素特征域上有限W-代数的相关理论,得到了限制李代数sl2关于p-正则幂零特征函数χ的约化包络代数Ux（sl2）的中心结构的多项式实现.第三部分是对素特征域上有限W-代数及其子代数的中心,以及这些中心代数的约化代数的研究.本部分首先证明了素特征域上限制李代数包络代数的不变量中心U（gk）Gk可以嵌入到对应的有限W-代数U（gk,e）的过渡子代数U（gk,e）的中心Z（U（gk,e））Premet为研究限制李代数gk的约化包络代数中心Z（Ux（gk））的结构,在文献[57]中引进了此中心的某个子代数Zx（U（gk））.受此启发,本文定义了有限W-代数约化代数（本文将其称为约化W-代数）中心的子代数Zx（U（gk,e））,并且证明了在投射映射下,Premet研究的代数Zx（U（gk））与我们定义的代数Zx（U（gk,e））存在同态映射.在本部分最后我给出了关于有限W-代数的过渡子代数U（gk,e）的中心结构的猜测（由有限W-代数的理论可知,此过渡子代数的中心完全决定了有限W-代数的中心,且此猜测的合理性已得到Premet的肯定）,并在假设此猜测成立的前提下,证明了Zx（U（gk））到Zx（U（gk,e））的代数同态实际上是同构.2.有限W-超代数方面的工作第四部分是本文的核心内容,是对复数域及素特征域上基本典型李超代数对应的有限W-超代数结构和理论的系统研究.有限W-超代数是有限W-代数理论的发展,很多基础性理论有待构建.基于Premet及王伟强-赵磊的文献,我首先给出了复数域上基本典型李超代数（除型D（2,1；a）（a∈C\Q）外）对应的有限W-超代数的三种等价定义,随后引入了有限W超代数的Kazhdan滤过,并证明了与李超代数表示范畴相关的Skryabin等价定理.然后通过模约化的方法,定义了素特征域（其特征p》0）上有限w-超代数及其约化代数,并证明了有限W-超代数的约化代数（本文将其称为约化W-超代数）的表示范畴与李超代数的约化包络代数的表示范畴之间存在Morita等价.随后通过一系列引理给出了素特征域上约化W-超代数的PBW定理,然后通过“可容许化”的方法得到了复数域上有限W-超代数的PBW定理,最后对素特征域上有限W-超代数及其子代数相关的结构理论进行了研究.第五部分是对有限w-超代数最小维数表示理论以及关于限制李超代数的超Kac-Weisfeiler性质中提到的最小维数模的存在性问题的研究.本部分首先根据复数域上有限W-超代数结构定理的两种不同情况,分别对其表示的最小维数进行了讨论和合理猜测,并证明了此猜测在某种特殊情况下是正确的.在假定猜测成立的前提下,利用素特征域上有限W-超代数的相关理论,证明了当素特征域k的特征p》0时,对限制李超代数gk的任意p-幂零特征函数χ∈（gk*）0,其对应的约化包络代数Ux（gk）存在着以超Kac-Weisfeiler性质中给出的维数下界为维数的单模.值得注意的是,此定理的证明过程中,我们得到的关于素特征域上有限W-超代数的许多结论是不依赖于猜测的.第六部分是对复数域上osp（1|2）型李超代数对应的有限W-超代数的研究.我们通过计算得到了其具体生成元和关系式,从而完全刻画了此代数的结构.然后根据得到的有限W-超代数的具体结构,刻画了其最小维数表示.由得到的结论可以发现,第五部分对复数域上有限W-超代数表示的最小维数的猜测,在此种情况下是成立的.第七部分是对复数域上有限W-超代数低Kazhdan次数的生成元和关系式的研究.本部分对低Kazhdan次数下有限W-超代数的生成元进行了公式构作,并对生成元之间的关系式进行了讨论.本部分的工作对研究低秩下一般型有限W-超代数的结构理论起着重要的作用.
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