给定有理数域上的ｎ元多项式f,假定其具有有限下界,考虑计算其在实数域上的全局下确界f*.更一般的,考虑计f,在由一组多项式等式限制条件定义的可行域上的下确界f*.假设可行域是光滑等维的,并且由等式限制条件中的多项式定义的理想是根理想.我们构造了一组多项式集合及其相应的截断代数簇.其中每一组多项式集合都与某一线性子空间上投射函数的关键点轨迹相关.我们证明在一般坐标系下,f在可行域上正定当且仅当在构造的每一个截断代数簇上,f等价于多项式平方和.因此对于f*的下界我们有基于半定规划(SDP)的代数验证.为降低问题的规模,我们还研究如何减少添加的多项式限制条件的个数.通过引入新的变量,本方法可以用于带不等式约束条件的多项式优化问题.与同类方法相比较,本方法对可行域的假设条件更弱且不要求下确界可以达到.另外,本方法添加的多项式限制条件更少且其次数更低,因此相应的SDP问题规模更小.我们尝试利用问题稀疏性解决多项式全局优化问题中下确界为渐近值时发生的数值问题.　　 为了利用Hilbert-Artin表达式验证给定多项式为非负多项式,我们需要固定分母多项式次数或者其支撑单项式集.对于给定的次数或支撑单项式集,我们利用半定规划的Farkas引理给出不存在这样的表达式的可信验证方法.作为特殊情形,本方法可用于多项式没有平方和分解的可信验证.我们给出了求解有理验证元的算法并从多项式环上线性型的角度诠释了上述验证方法.利用本方法,我们发现了第一组不能写成分母次数≤2的两个多项式平方和比值的非负多项式的例子.　　 如上所述,为计算或验证多项式在可行域上的下确界,我们将其松弛为一系列的半定规划问题.为了克服有限精度计算的Matlab软件包带来的的数值误差,我们在符号计算软件Maple中开发了可以高精度求解SDP问题的软件包SDPTools.作为应用,SDPTools提供了用于求解和验证有理函数的全局下界的功能.对于RumpsModel问题,我们得到迄今为止最好的计算结果.为了考虑多项式优化问题的稀疏结构,SDPTools可以用来求解任意维度上给定有限点集的凸包.