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本文将借助于Hamilton-Jacobi理论研究算子L=-div(A▽)++++h(0.1)以及对应的Schr(o)dinger算子Ls=-div(A▽)+(0.2)的精确基本解，其中A是n×n对称正定实矩阵，f和g欧氏空间Rn中的向量;h是实数.div，▽和<.，.>分别表示散度，梯度和标准欧氏内积.特别地，人们希望在某些有意义的情形下，找到上述算子的热核（进而得到格林函数）.本文给出了A与B可交换（即成立AB=BA）时的结果. 本文的主要结论包含两部分:算子诱导的Hamilton系统和算子的热核.Hamilton系统的研究分为两个层次，先考察算子Ls，再过渡到算子L.关于算子Ls的研究再分两个阶段:根据空间维数n，区分n=2和n＞2两种情形.经研究发现，系数矩阵的特征值对系统的解起了主导作用，因此系数矩阵为对角阵时的情形足以表明系统的特征.对算子诱导的Hamilton系统，本文给出三个重要特征，即测地线，能量和作用.计算显式热核方面，先从系数矩阵为对角阵的情形出发，由交换性假设得到一般Schr(o)dinger算子的热核表达式并求解了一类矩阵Riccati方程，最终得到一般带梯度位势的算子L的热核分布.当系数矩阵分别为对角阵和非对角阵情形时，本文都给出了明确的热核表式. 第一章，首先综述了半个世纪以来，线性偏微分方程精确解方面的工作，点出了精确解，特别是精确基本解在偏微分方程的形成与发展过程中所起的重要作用.涉及到的算子可分为四类，即次椭圆算子，退化椭圆算子，混合型算予以及平方和算子.其次，概述了本文的选题背景，研究方法与思路以及文章的内容安排. 第二章，系统地介绍本文的主要研究工具——Hamilton-Jacobi理论.前两节介绍变分原理的两种主要形式，Lagrange方程组和Hamilton方程组，并证明了两者的等价性.庞加莱-嘉当积分不变量（即后文的经典作用）在本文的研究中起了重要作用，典则变换为求解Hamilton系统提供了有力的工具.最后两节介绍相空间中的最小作用原理，可以看到它包含对变分原理一个本源的解释.与几何光学的类比，导出Hamilton-Jacobi方程. 第三章至第五章将对空间维数n=2时的广义Hermite算子（Ls中A=In）作详尽的讨论.第三章定性讨论了Hamilton系统的解，回答了这样一些问题: 矩阵B的特征值和Hamilton系统的解有什么关系; 矩阵不同的特征值之间的关系如何如何影响系统的解; 矩阵特征值会不会使系统产生奇性，产生的条件是什么; 如果有奇性，怎样直观地刻画这些奇性. 第四章，在Hamilton系统正则的情况下，定量讨论了Hamilton系统的解，得到了Hamilton-Jacobi理论中3个主要的量，即测地线（Hamilton系统在相空间中的解到底空间的投影），Hamilton函数沿测地线的能量以及Hamilton经典作用（Carnot-Caratheodory度量）. 第五章，计算了广义Hermite算子的显式热核表达式并讨论了核函数在傅立叶变换下的热核性质. 第六章，研究了算子Ls诱导的Hamilton系统并得到算子Ls和L的热核表达式.首先，将第三章至第五章的结果推广到高维情形，计算了测地线、能量和作用这三个重要的量并讨论了矩阵A引入后相应的傅立叶热核性质;其次，借助于概率拟设得到算子L的热核显式K;最后给出一些例子，它们推广并覆盖了若干算子的经典结果，涉及的算子有拉普拉斯算子，Hermite算子和带权空间中的Ornstein-Uhtenbeck算子. 第七章，总结了本文的主要理论结果，并对后继的工作确定一个方向，其中包括对该方向一些新进展的简要介绍.