科学与工程研究中的很多问题可以转化为定义在无界区域上的偏微分方程的求解问题。人工边界方法是求解无界区域偏微分方程的一种有效方法。通过引入恰当的人工边界,并添加准确或者近似的人工边界条件,我们可以把无界区域问题转化为有界区域问题。随后,我们可以采用常规的数值方法求解得到的有界区域问题。在本文中,我们首先提出三维无界区域Poisson方程的快速有限元算法,包含外问题和管道问题。我们推导出准确的Dirichlet-to-Neumann算子形式的人工边界条件把无界区域问题化为有界区域问题。基于对根号函数的Pade逼近和最佳Chebyshev有理逼近,我们得到两种快速算法来逼近准确的人工边界条件。该方法的显著优势是不需要求解人工边界上Laplace算子的特征系统。此外,与传统的特征分解方法相比,我们显著地减少了 Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件的计算量。我们给出了快速算法的完整数值分析,并提供了数值算例来证明方法的有效性。在本文中,我们还设计出一维无界区域局部和非局部扩散方程的快速算法,并对其稳定性和误差分析进行了研究。通过使用中心差分离散空间导数算子,渐近相容格式离散空间非局部算子,并使用二阶向后差分格式离散时间导数算子,我们首先得到了全离散的系统。随后,我们推导出Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件,把无界区域问题化为有界区域问题。为了得到Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件,我们首先对离散系统应用z变换,并用迭代方法求解外部无界问题得到Dirichlet-to-Dirichlet算子形式人工边界条件。随后,我们通过Green公式,把Dirichlet-to-Dirichlet算子形式人工边界条件等价地转化为Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件。基于Dirichlet-to-Neumann算子形式人工边界条件和一些开放且合理的假设,我们对有界区域问题进行了稳定性和收敛性分析。通过对逆z变换诱导积分的数值近似,我们得到快速卷积算法来计算人工边界条件。我们给出了方法的稳定性和误差分析,并提供了数值算例来证明方法的有效性。