【摘 要】
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非光滑优化问题是一类应用背景广泛,理论研究深刻的优化问题.领域内的优化理论和数值算法在大数据,工程应用,社会服务等诸多领域有着广泛的应用,长期以来一直受到国内外学者的广泛关注.非光滑优化领域的优化理论和算法被广泛应用于机器学习、工程设计与优化、图像去噪、图像恢复、发电机组优化以及金融等领域.Minimax问题考虑目标函数为多个分量函数极大化的情形,具有分解式的特殊结构以及非光滑的特性,此类问题产生
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非光滑优化问题是一类应用背景广泛,理论研究深刻的优化问题.领域内的优化理论和数值算法在大数据,工程应用,社会服务等诸多领域有着广泛的应用,长期以来一直受到国内外学者的广泛关注.非光滑优化领域的优化理论和算法被广泛应用于机器学习、工程设计与优化、图像去噪、图像恢复、发电机组优化以及金融等领域.Minimax问题考虑目标函数为多个分量函数极大化的情形,具有分解式的特殊结构以及非光滑的特性,此类问题产生于最优控制、环境保护与能源利用等众多领域.一些经典的非光滑优化算法自然地适用于求解此类问题.由于此类问题具有极大极小和分解式的特殊问题结构,利用其特殊的分解式结构设计合理高效的优化算法同样是研究此类问题的一个重要方向.本学位论文针对一类结构特殊的非光滑问题,即Minimax问题,提出了两种异步类型的水平束方法首先,为求解带约束的Minimax问题建立了异步水平束方法.在经典的水平束方法的基础上,基于Minimax问题分解式的特殊结构,算法的每次迭代只需借助某个分量函数延迟的一阶信息便能建立对目标函数的线性化下近似.因此引入异步策略,使得算法在迭代的过程中有效的避免不同分量函数在计算一阶信息时的延迟和等待,一定程度上提高算法的计算效率;证明算法的一些基本性质以及异步迭代策略的合理性,并在此基础上建立了算法的全局收敛性结论.其次,为求解带约束的Minimax问题,建立了基于定位器技术的协调异步水平束方法.上述的异步水平束方法在迭代过程中,在每个迭代点处利用某个分量函数的线性化模型近似目标函数,不能够很好的近似目标函数,导致算法本身具有一定的不稳定性.通过引入协调步策略,使得算法在一定条件下产生协调步,在协调步处,我们能够得到关于目标函数完整的近似信息,从而有效地平衡由于异步迭代造成的算法的不稳定性.我们进一步地考虑用非欧距离代替欧式距离,一方面能够合理地利用可行集的结构,另一方面,在算法中引入关于水平集的定位器序列,能够有效的调整和控制子问题约束的数量,降低子问题的求解难度;证明了算法的相关性质并建立了算法的全局收敛性结论.最后,利用Python编程实现本文建立的异步算法,并完成了一些初步的数值试验.数值结果表明异步迭代策略的有效性.
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