分数阶微积分理论是一个研究任意阶次微分、积分算子特性及其应用的数学理论,其发展历史至今已经有300多年.有关分数阶微分方程边值问题的理论研究已经引起了国内外许多数学工作者的广泛关注.q-差分是离散数学的一个重要分支.随着信息技术的日益普及和发展,q-差分越来越多的应用到自然科学和工程学中,特别是在数学物理模型、动力系统、量子物理和经济学方面发挥着重要作用.q-微积分(又称量子微积分)自诞生以来,一直是连接着数学和物理学的重要桥梁.近年来,不少专家学者将分数阶q-微积分理论引入方程中,开始关注分数阶q-差分方程的相关理论研究.目前,分数阶q-差分方程定性理论引起了国内外学者的广泛关注和研究,特别是对其解的存在性与吸引性这两个最基本和最重要的性质的研究,这不但是其理论发展的要求,也是社会生产生活的需要,期望它能在实践应用中发挥相应的作用.本文主要研究分数阶q-差分方程初边值问题解的存在性和吸引性,其中包括奇异方程、脉冲方程,涉及解的存在性、唯一性、Lyapunov不等式和吸引性,得到一些新的结果.第一章叙述分数阶微积分和分数阶q-差分的发展历史和研究现状,给出有关分数阶q-差分方程的基本概念、引理和本文运用的主要方法,简要介绍本文研究的主要内容.由于对奇异分数阶q-差分方程的研究大部分都是关于Cauchy、Robin等边值条件,对含有Sturm-Liouville边值条件的研究还相对较少.另外,对含有Sturm-Liouville边值条件的边值问题求解相对复杂.在第二章研究了带参数的奇异分数阶q-差分方程边值问题,利用Krasnoselskii不动点定理,得出了解的存在性的充分条件.第三章在Cauchy边界条件下研究了线性和非线性的分数阶q-差分方程的Lyapunov型不等式,利用不等式得到一个q-Mittag-Leffler函数存在区间,其中Mittag-Leffler函数没有实零点.此外,我们还推出了分数阶q-差分方程边值问题不存在性的充分条件.对于边值条件中既含有Caputo导数又含有Riemann-liouville导数的边值问题的研究,尤其是对分数阶q-差分方程的研究还相对较少.第四章研究带有混合导数的分数阶q-差分方程边值问题解的存在性与唯一性.利用Guo-Krasnoselskii不动点定理、Banach压缩映射原理以及Scheafer不动点定理得出解的存在性与唯一性的充分条件,并给出例子加以说明.具脉冲的分数阶微分方程初值问题的研究大部分都是不变阶数的,对于变阶数,尤其是分数阶q-差分方程的研究相对较少.第五章研究带脉冲的分数阶q-差分方程初值问题解的存在唯一性.通过Scheafer不动点定理和Banach压缩影射原理,得出解的存在唯一性的充分条件,并给出例子说明解的存在唯一性的运用.已有一些文章是关于分数阶微分方程解的吸引性,而有关分数阶q-差分方程解的吸引性文章几乎没有.第六章研究非线性分数阶q-差分方程解的全局吸引性,通过改进的Krasnoselskii不动点定理证明解的存在性,继而说明解的全局吸引性的充分条件,并给出例子对所得结果加以说明.第七章总结与展望.归纳总结本文研究的主要工作和创新点,并对未来的研究工作进行展望.