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本文主要做了三方面的工作:一、利用算子谱的精密结构分析的方法研究Hardy空间上-类算子Toeplitz算子谱的精密结构及其某些子集的连续性问题；二、首先，利用对Banach空间的各种拓扑间关系的认识研究了Banach空间上的可分性，接着，利用对可分性的认识。对与可分性有关的问题-可分商问题进行了探讨；三、结合算子理论与空间结构的互动作用，对Banach空间上的Semi-Fredholm算子的摄动问题做了进一步研究.