本文分为两章讨论。第一章研究半线性椭圆问题-△u+u=|u|p2u在外部外部有限对称区域RN＼{0},N≥3中满足Cerami条件下的变号解,其中u∈H01(Ω).第一部分,绪论中,研究以下问题解得存在性并得出了与该问题相对应的变量泛函J0：H01(Ω)→R,给出了条件(g1)-(g3)以及2-超线性情形的A.R.条件,并给出例子证明了条件(g1)-(93)比A.R.条件弱.最后,在条件(g1)-(93)下,引出了本章所要证明的定理1.1,定理1.2.第二部分,主要介绍了正交作用,正交作用的不动点及Nehari流形上的径向投影等概念.第三部分,主要介绍了Cerami序列,(C)Φc条件及相关的一些引理和推论.第四部分,定理1.1的证明.第五部分,定理1.2的证明.第二章讨论对于一个二阶哈密顿系统通过局部环绕引理,得到至少两个非平凡的同宿轨道,其中W(t,u)是超二次的.根据内容本章分为以下二部分：第一部分绪论,主要介绍了本文的研究课题二阶哈密顿系统及其L∈C(R,RN2)和W∈C1(R×RN,R)分别满足(L1)-(L2)及(S1)-(S4)的情况下引出所要证明的定理.第二部分在本部分中,首先,我们介绍了自伴算子的定义及自伴算子的普分解.定义D=D(|A|1/2),且在D上,定义了内积与范数；定义了谱包含A的特征值及特征函数,定义了和并且E=E⊕E00E+.在E上,介绍了内积与相应的范数。其次,我们分别介绍了f在0点有一个局部环绕的定义,f满足(P)S)*条件的定义,以及引理2.3.([6])若L满足(L1)与(L2)。D(A)连续嵌入到W2,2,并且|u(t)|→0,|u(t)|→0,当|t|→∞,Vu∈D(A).引理2.4.([3])假设f∈C1(X,R)满足以下条件(B1)f在0点有一局部环绕,且X1≠{0},(B2)f满足(PS)*.(B3)f映有界集到有界集,(B4) f下方有界,且(f：=infxf<0.则f至少有三个临界点.最后,我们分五步来证明本文的定理.步骤一证明了f在0点有一局部环绕,且X1≠{0}；步骤二证明了f满足(PS)*；步骤三证明了f下方有界,且d：=iinfx<0；步骤四证明了f映有界集到有界集；步骤五证明了(?)u∈D(A)是问题(1.1)的问题.