【摘 要】
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近年来,因为在物理学、生物学、金融学等学科中描述异常扩散现象的诸多应用,非局部算子问题引起越来越多的关注.对解的对称性、单调性等定性性质的研究是非局部算子问题中的一个重要课题.本文主要研究几类分数阶P拉普拉斯方程和方程组解的定性性质.此外还研究含有分数阶拉普拉斯算子的完全非线性抛物问题解的性质和Hopf引理.论文结构如下:第一章简要介绍问题的研究背景和研究现状以及本文的主要工作.第二章主要研究带有
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近年来,因为在物理学、生物学、金融学等学科中描述异常扩散现象的诸多应用,非局部算子问题引起越来越多的关注.对解的对称性、单调性等定性性质的研究是非局部算子问题中的一个重要课题.本文主要研究几类分数阶P拉普拉斯方程和方程组解的定性性质.此外还研究含有分数阶拉普拉斯算子的完全非线性抛物问题解的性质和Hopf引理.论文结构如下:第一章简要介绍问题的研究背景和研究现状以及本文的主要工作.第二章主要研究带有分数阶p拉普拉斯算子的Hardy型方程和Hénon型方程解的对称性和单调性.证明的关键是在移动平面过程中运用边界估计引理.在此基础上,通过与第一特征函数作比较,得到H6non型问题正解的不存在性.对于一般形式的分数阶P拉普拉斯方程组,首先建立方程组的边界估计引理和无穷远退化原理,然后利用这些引理证明几种不同类型方程组解的对称性和单调性.第三章研究Rn上带有负幂次非线性项的非局部算子问题解的性质.与研究有界域上的或带有Lipschitz非线性项的分数阶问题有本质不同,这里需要克服负幂次非线性项带来的困难.我们首先证明相应的分数阶拉普拉斯问题解的对称性和单调性,然后将此结果拓宽到非线性的分数阶p拉普拉斯算子上.第四章主要研究含有分数阶拉普拉斯算子的完全非线性抛物问题.我们证明单位球上和全空间上正解的对称性和单调性.此外还得到半空间上和具有光滑边界的有界区域上的Hopf引理.
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