【摘 要】
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本文主要研究了非局部椭圆方程及非齐次非线性薛定谔方程组（非齐次NLS方程组）在有界域上规范解的存在性问题,这里的规范解是指在L~2质量限制下方程（组）的解。非局部椭圆方程最早起源于D.R.Hartree发现的Hartree方程,该方程将每个电子都视为在其余电子提供的平均势场中移动,由此给出了每个电子的运动方程。非齐次非线性薛定谔方程源自于E.P.Gross提出的Gross-Pitaevskii型N
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本文主要研究了非局部椭圆方程及非齐次非线性薛定谔方程组（非齐次NLS方程组）在有界域上规范解的存在性问题,这里的规范解是指在L~2质量限制下方程（组）的解。非局部椭圆方程最早起源于D.R.Hartree发现的Hartree方程,该方程将每个电子都视为在其余电子提供的平均势场中移动,由此给出了每个电子的运动方程。非齐次非线性薛定谔方程源自于E.P.Gross提出的Gross-Pitaevskii型NLS方程,其在等离子体物理学、流体动力学、非线性光学和玻色-爱因斯坦凝聚等研究领域中,具有重要意义。第一部分主要研究带有两个质量限制的非局部椭圆方程在有界域上解的存在性问题。根据变分法思想,该问题通常转化为求解能量泛函的极值问题,由于该椭圆方程所对应的能量泛函部分项受到质量限制,故只需考虑非局部项的极值问题是否可达。本文使用改进的Gagliardo-Nirenberg不等式对该非局部项进行处理,最终获得了非局部椭圆方程的规范解。此外,利用Ambrosetti和Prodi提出的方法,构造空间和映射,结合奇点定理得到了规范解的渐近展开式。第二部分主要研究非齐次NLS方程组在有界域上规范解的存在性问题。在L~2-次临界和L~2-临界的情况下,能量泛函是强制的,通过使用变分法中的极值原理,找到了非齐次NLS方程组的全局解;在L~2-超临界和Sobolev-次临界的情况下,关于参数提出一定的条件,证明了非齐次NLS方程组局部解的存在性;在Sobolev-临界情况下,能量泛函不再满足弱下半连续性质,通过修复极小化序列的紧性,可以获得齐次NLS方程组的局部解。
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