美籍罗马尼亚数学家Florentin Smarandache教授曾提出许多重要的理论和实际问题，其中大部分内容与数论有关.一些学者对他的理论和问题进行了深入的研究，并获得了不少具有重要理论价值的研究成果，这些工作发表在一些国际数学期刊如《Smarandache Notions Journal》以及《Scientia Magna》等刊物上.此外，日本数论专家Kenichiro Kashihara博士也在他所著的《Comments and Topics On Smarandache Notions and Problems》一书中提出了许多与数论及Smarandache函数相关的问题，其中不少问题具有一定的理论意义及研究价值.基于对这些问题的兴趣，本文研究了一些伪Smarandache函数及其对偶方程的可解性，定义了新的Smarandache幂和函数，进而研究了这些函数的性质.主要工作包括以下三个方面：　　 1.研究了一个包含伪Smarandache函数及其对偶函数方程的可解性，利用初等及组合方法给出了该方程的一系列正整数解，并证明了该方程的所有奇数解必为奇素数p(≥5)的方幂.　　 2.对任意正整数n及给定的正整数k＞1，定义了两个Smarandache幂和函数P(n，k)及AP(n，k)，并研究了它们的算数性质，利用高斯取整函数的性质及初等方法给出了函数P(n，k)及AP(n，k)的均值的两个有趣的渐近公式.　　 3.设n为正整数，定义可加函数F(n)为F(1)=0，当n＞1且n的标准分解式为n=pα11pα22…pαkk时，定义F(n)=α1P1+α2P2+…+αkpk.设P(n)表示n的最大素因子.利用初等方法以及素数的分布性质研究了函数(F(n)-P(n))2的均值性质，并给出一个较强的渐近公式.