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Nevanlinna理论是Picard小定理的重要发展和亚纯函数理论的重要部分,由Nevanlinna于1925年创立,亦称值分布理论.研究Nevanlinna理论的一个基本工具是Nevanlinna特征Tf(r),它测度了一个亚纯函数f的增长率.该理论后来被推广到了Cn的子流形和全纯曲线情形,如参考W.Stoll[51,53].最近,A.Atsuji[2,3]从布朗运动角度研究了完备Kahler流形上亚纯函数的值分布问题.例如,Atsuji在2008年利用概率方法建立了Cm子流形上亚纯函数的第二基本定理[3],随后又建立了完备Kahler流形上亚纯函数的第二基本定理[2].在文章[3]中,他证明了Theorem 0.0.1(Atsuji[3])设f是完备和随机完备Kahler流形M上的非常量亚纯函数,ai,…,aq是P1(C)中互不相同的点.那么对任意给定的常数δ>0,我们有(?)mf(r,aj)+Ni(r,f)≤2T(r)+2Nf(r,Ric)+O(log Tf(r))+log C(o,r,δ)对一切r>0成立,至多去掉一个有限测度的例外集E说.然而,上述定理中C(o,r,δ)是一个尚未确定的量.要计算它首先需要给出格林函数的估计,但一般流形上的格林函数往往很难求解且计算量很大.因此,为处理这一项,Atsuji[7]于2010年引进了一套新Nevanlinna函数,即mx(t,a)Nx(t a)和Tx(t)(逼近函数,计数函数及特征函数,见[7]中的定义),可以看成是经典Nevanlinna函数的一个类似.利用这套概念,Atsuji[7]类似地建立了第二基本定理.为陈述这一定理,我们先回顾随机完备性的概念.假设M是一个(测地)完备黎曼流形,其关于度量的Laplace-Beltrami算子记为△.令p(t,x,y)是热方程(?)u/(?)t-1/2Δu=0的极小正基本解.我们称M是随机完备的,如果fM p(t,x,y)dV(y)=1对一切x ∈ M成立,此处dV是M上的黎曼体积测度.Theorem 0.0.2(Atsuji[7])设f是完备和随机完备Kahler流形M上的非常量亚纯函数,a1,…,aq是P1(C)中互不相同的点.若Tx(t)<∞,limt→∞Tx(t)=∞以及|Nx(t,Ric)|<∞.那么对任意给定的常数δ>0,我们有(?)mx(t,aj)+N1(t,x)≤2Tx(t)+2Nx(t,Ric)+(4q+1+δ)logTx(t)+O(1)对一切r>0成立,至多去掉一个有限测度的例外集Eδ.Remark 0.0.3在原结论(定理17,[7])中,log Tx(t)的系数是5+δ,但我们经核对后认为应该是4q+1+δ.在本论文中,我们沿着B.Davis,T.K.Carne和A.Atsuji等一些学者的研究路线,利用随机微积分理论重新阐释了经典Nevanlina理论.特别地,我们给出了亚纯函数和全纯曲线(Cartan-Ahlfors的第二基本定理)的经典结果的概率证明.同时,我们将Atsuji的第二基本定理推广到了积Kahler流形上.现在,我们转向线性微分-差分方程领域.研究如下形式的常系数复线性微分-差分方程(?)Akif(k)(z+μi)=g(z)的一般解结构是微分-差分方程理论中的一个基本问题.关于这个方程的解结构问题,许多学者都曾作过深入研究(参考[10,15,18,44,57]).然而,这个问题一直没有得到彻底解决.例如,我们尚不清楚这个方程是否存在一个增长级大于1的整函数解,更甚者,我们亦不知该方程整函数解的一般结构形式.C.C.Yang曾在1970s提出:问题(Yang)一阶线性微分-差分方程f’(z)=f(z+1)是否存在一个增长级大于1的整函数解?如何表示它的一般整函数解结构?关于这个问题,我们在第四章中对一般常系数复线性微分-差分方程的整函数解的结构作了研究,并给了一般整函数解的表示.从某种意义上说,一个线性微分-差分方程可以看成是一个无穷阶线性微分方程.关于一般常系数线性微分-差分方程,我们在第四章中给出了整函数解的结构,然而关于它的整函数解的存在唯一性问题,我们并未作任何讨论.因而,我们在第五章中着重考察了一类无穷阶线性微分-差分方程整函数解的存在唯一性问题,这类方程可以看成是常系数线性微分-差分方程的推广.本论文包括五章内容,各章大意如下:在第一章中,我们介绍了一些预备知识,包括经典Nevanlinna理论、随机理论和势理论以及整函数理论.在第二章中,我们给出了经典Nevanalinna理论中亚纯函数和全纯曲线的第一、第二基本定理的概率证明.在第三章中,基于热扩散方法,我们建立了完备积Kahler流形上的亚纯函数的第一、第二基本定理.在给定某些曲率条件下,我们得到了 Picard小定理,即完备积Kahler流形上的非常量亚纯函数至多有两个例外值.在第四章中,我们给出了一般常系数线性微分-差分方程整函数解的结构,解答了C.C.Yang关于方程f’(z)=f(z+1)的整函数解结构的提问,并推广了 Valiron关于一类无穷阶线性微分方程解结构的一个结果.在第五章中,我们研究了一类无穷阶常系数线性微分-差分方程整函数解的存在唯一性问题.