【摘 要】
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Stein引理的应用最早可以追溯到1981年,当时被用来作为Stein估计的工具.在过去的几十年里,很多学者发现:Stein引理在研究有关混合矩的风险度量中也起着非常重要的作用.他们把Stein引理应用到风险理论中,特别是尾条件期望、尾条件方差、王保费准则、多元尾条件期望和多元尾协方差矩阵等风险度量.本文主要做了三个方面的工作.第一,我们推导出了椭圆分布混合矩E[X12f（X）]的表达式;第二,我
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Stein引理的应用最早可以追溯到1981年,当时被用来作为Stein估计的工具.在过去的几十年里,很多学者发现:Stein引理在研究有关混合矩的风险度量中也起着非常重要的作用.他们把Stein引理应用到风险理论中,特别是尾条件期望、尾条件方差、王保费准则、多元尾条件期望和多元尾协方差矩阵等风险度量.本文主要做了三个方面的工作.第一,我们推导出了椭圆分布混合矩E[X12f（X）]的表达式;第二,我们研究了截断的推广斜椭圆分布的Stein引理;第三,我们考虑了推广斜椭圆位置-尺度混合分布的Stein型引理.首先,受Stein引理的启发,对满足某些正则性条件的任意可测函数f,我们使用了两种不同的方法来推导椭圆分布的混合矩E[X2f（X）].一种是直接定义的方法,另一种是用Stein引理的方法,我们得出了两种不同形式的表达式.之后,我们证明了这两种不同形式的表达式是等价的.然后,应用椭圆分布的结果,我们给出了正态分布的混合矩E[X12f（X）]的具体表达式,并应用这个结果得到了正态分布随机变量乘积矩的递推公式.我们还给出了一些特殊乘积矩的例子,并与其他文章的结果作比较.在后面,我们给出了其他特殊分布混合矩E[X12f（X）]漂亮的表达式,例如:多维学生t分布、逻辑分布和Laplace 分布.其次,受截断椭圆分布Stein引理和推广斜椭圆分布Stein引理的启发,我们考虑了截断的推广斜椭圆随机向量的Stein引理.我们提供了两种形式的截断推广斜椭圆随机向量的Stein引理.一个是普遍情况下的形式,另一个是常用的特殊形式.然后,我们令斜函数以及密度生成元为一些特殊的函数,可以得到推广斜正态、斜正态、椭圆和正态等分布相应的截断型Stein引理.在后面,在推广斜椭圆分布的模型下,应用前面的结果我们推导出了资产组合的条件尾期望、概率水平为q的上象限条件尾期望、概率水平为q的下象限条件尾期望、王保费的截断型准则、多元尾条件期望和多元尾协方差矩阵的表达式.最后,在已经建立的推广斜椭圆随机向量Stein引理的基础上,我们推导出了推广斜椭圆位置-尺度混合随机向量的Stein型引理.我们还考虑了椭圆位置-尺度混合随机向量、推广斜正态位置-尺度混合随机向量以及斜正态位置-尺度混合随机向量等特殊情况.作为风险理论的一个应用,我们给出了推广斜椭圆位置-尺度混合分布和椭圆位置-尺度混合分布的三基金分离的结果.
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