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哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫在与欧拉的通信中提出来的,可以表述为：(A)每个≥9的奇数都是三个奇素数之和.(B)每个≥6的偶数都是两个奇素数之和.其中奇数的哥德巴赫猜想(A)又称为三素数定理,这一问题已于1937年被Vinogradov [30]基本解决,他证明了每一个充分大的奇数均可以写成三个素数的和.偶数的哥德巴赫猜想(B)至今仍未解决.非线性的哥德巴赫问题又称为华林-哥德巴赫问题,旨在研究正整数n表为j个素数κ次幂之和的可能性,即这里κ是某个给定的正数,而j=j(k)依赖于k.对于固定的κ,我们希望j尽可能小.在本文中,我们考虑κ=3的情形.对于三次的华林-哥德巴赫问题,与偶数的哥德巴赫猜想相对应的一个猜想是说一个充分大的正数n如果满足一些必要的同余条件,那么可以表为四个素数的立方和,即这是一个比偶数的哥德巴赫猜想还难的猜想,现在还不能被证明.关于这个猜想直没有实质性的进展,甚至没有办法证明例外集的结果.但是有一些对这个猜想的逼近,例如Davenport的结果.Davenport在[3]中的定理断言几乎所有的正整数可以表示成四个正数的立方和,这里”几乎”的意思是说在不超过z的满足必要条件的正整数中不能写成四个正整数的立方之和的整数集合ε(z)满足ε(z)=o(z).关于这个猜想的直接刻画,Roth [26]证明了下面的结果其中(?)为可写成(2)的整数n的集合.这个结果可以看作是对上述猜想的另外一种逼近,在[23]中,Ren证明了这里β>0是一个绝对常数.由此我们可以得出这个猜想对有正密度的正整数是成立的.此外,计算出β的一个可以接受的数值也是非常有趣的.在Ren的另外一篇文章[24]中,β=1/320可以通过计算给出.在第一章,我们考虑了(4)的小区间问题,得到如下结果：定理1.1.令N为一个大的正数,(?)如上定义.则存在一个绝对常数γ>0使得这个结论表明,对于给定的充分大的N以及定理中给定的Y,在区间[N,N+Y]上满足必要条件的正整数中,使得猜想成立的整数的集合具有正密度.我们将用圆法和上界筛法证明定理1.1.关于前面所述猜想的另一种研究途径是考虑当j≥5时,在不超过N的满足必要条件的正整数中不能表为j个素数立方和的正整数的集合│εj(z)│有多大.Hua[5]证明了当j=9时,ε9(z)是个有限集.因此有意义的问题是当j=5,6,7,8时,│εj(z)│有多大.记εj(z)为这样的整数集合n∈Aj∩[z/2,z],但是n不能被写成(1)的形式,这里Aj为一些同余条件,如(2.2)中定义.Hua [5]-[6]中的定理证明几乎每一个充分大的满足必要条件的整数均可以写成五个素数的立方和.具体说,Hua证明了ε5(z)<<z(logz)-A,这里A>0是任意常数.后来许多数论学家进一步研究了这一问题,其中最新结果是2005年Kumchcv [21给出的如下结果：当5≤j≤8时,我们有这里我们研究了Pi限制在小区间上取值的情形,即考虑当J=5,6,7,8时如下问题的可解性：这里δj>0是一个常数.我们当然希望δj尽可能大.在第二章中我们将用圆法证明如下定理.定理2.1.令j=5,6,7,8,Aj如(2.2)中所定义.对于任意的ε>0,当δj分别等于1/45,1/30,1/25,2/45时,方程(5)对所有的N∈Aj∩[z/2,z]有解,但除去至多O(z1-ε)个例外.这个结果表明不但一些满足必要同余条件的几乎所有的整数是j(j=5,6,7,8)个素数的立方之和,而且还证明了这些素数可以在很小的区间上取值.前面我们指出,当j=9时,Hua[5]证明每一个充分大的奇整数均可以写成九个素数的立方和. Lu和Xu[13]证明了当δ9=1/198时,每个充分大的奇整数都可以写成(5)的形式.这跟在黎曼猜想下得到的结果是一样强的.在定理2.1的证明中,我们将利用[13]中的方法.