分形集是具有无限精细复杂结构的几何体,是数学、物理等领域的重要研究对象和应用模型,分形维数是研究分形集的重要工具。不同于经典的Hausdorff维数和盒维数更多地刻画集合的整体性质,Assouad维数和下Assouad维数对集合的特殊点的局部结构更加敏感,Assouad维数反映集合最“密”部分的“密集”程度,下Assouad维数反映集合最“稀”部分的“稀疏”程度,它们均在分形几何及维数理论中扮演重要角色。Assouad维数于上世纪70年代由法国数学家Assouad引入,它是几何测度论和分析学中的重要概念,已有大量的研究成果,除了在嵌入问题、拟共形映射等领域外,在维数理论和分形几何中也有系统、丰富的研究结果。作为Assouad维数的一种自然的对偶,法国数学家Larman引入了下Assouad维数（dimL F）,众所周知,“维数对”在几何测度论的多个研究领域中非常重要。相比Assouad维数而言,关于下Assouad维数的研究结果要少得多,由于它不具有单调性、有限平稳性及拟Lipschitz不变性等,对它的研究也困难得多,2016年Fraser-Yu引入了下Assouad谱（dimLθ F）,它关于θ∈（0,1）是连续的、具有拟Lipschitz不变性、对于某些分形集,可以通过（?）dimLθ F逼近或者或者得到dimL F。但是下Assouad谱关于θ没有单调性;对一般分形集,θ→0及θ→1的极限是否存在;是否可以用（?）dimLθ F逼近或者得到dimL F等,都是值得深入研究的问题。本文围绕下Assouad维数及下Assouad谱开展研究工作,主要研究结果如下:1)通过放宽下Assouad谱定义中的约束条件,本文给出了拟下Assouad谱（dimLθ F）与拟下Assouad维数（dimqL F）的定义,证明了拟下Assouad谱具有关于θ∈（0,1）的单调性、介值于下Assouad维数与下盒维数之间、关于F的拟Lipschtz不变性等性质;对于加倍度量空间中的任何集F,证明了当θ→0和θ→1时拟下Assouad谱dimLθ F的极限存在。2)对加倍度量空间中一致完全集,研究了dimLθ F和dimLθ F的性质以及它们之间的关系,对其下维谱建立了一个变分原理,由此得到拟下Assouad维数的一个等价定义。首先,利用F的一致完全性,改进了 Fraser-Yu关于dimLθ F的一个研究结果,利用该改进结果证明了当θ→0和θ→1时dimLθ F的极限是存在的。进一步,利用上述改进结果及Diophantine逼近中的Chebyshev定理,证明了对任意θ ∈（0,1）,dimLθ F是dimLθ’ 关于0<θ’≤θ的下确界,以及dimqL F是当θ→1时dimLθ F的极限。这些结果丰富和完善了已有研究结果。3)一般来讲下Assouad维数及谱的计算是困难的。Fraser-Yu计算了一些特殊自仿集的下Assouad维数及谱。本文研究了几类分形集的下Assouad维数公式或计算。（1）我们首先获得了紧加倍度量空间的下维数的公式表示,即一个等价定义,然后,运用这个公式得到了一类齐性集的下Assouad维数公式、给出了一类Moran集的下Assouad维数的一个非平凡的下界;构造例子说明了dimL F不具有拟Lipschitz不变性。（2）得到了Moran剪切集的下Assouad维数和下Assouad谱的公式。（3）给出了Thomae函数图集的下Assouad维数、下Assouad谱以及盒维数的值,结果说明:存在集合F,dimL F均不能通过dimLθ F和dimLθ F取θ→1的极限得到;同时修正下Assouad维数和盒维数也不能通过dimLF和dimLθ F取θ→0的极限得到。