递推序列的算术性质是初等数论及组合数论研究的热点问题之一,其研究工作具有重要的理论意义和应用价值.著名的Fibonacci数列、Lucas数列在解决诸如Hilbert第十问题、Fermat大定理等数学大问题时发挥着重要的作用,并被广泛应用于大素数分解、同余方程等数论问题的研究,对编码学、密码学、组合学、矩阵论等多个数学分支的发展也起到了巨大的推动作用.1980年,著名数学家Erdos在研究一些级数的无理性判断时提出若干关于Fibonacci数列倒数和的猜想,近年来,许多学者从不同角度对其进行了研究和推广.本文运用初等方法建立了一系列有关Fibonacci多项式、Lucas多项式、高阶线性递推序列、周期Fibonacci数列、二项变换序列的倒数和及递推关系的恒等式.这些结果彻底的解决了Ohtsuka、Murthy和Ashbacher等学者提出的猜想,是对国内外学者在这一领域研究工作的推广和延伸.本文的工作可以概括如下：1.对Erdos猜想中的数列、下标的选取及求和范围进行了推广,研究了Fibonacci多项式、Lucas多项式、Jacobsthal数列及其等距子列的倒数和取整问题,给出了这类和式的整数部分.这部分结果推广了Ohtsuka和张文鹏得到的关于Fibonacci数列及Pell数列的相关结论.2.利用多项式零点分布理论及误差估计的方法研究了高阶线性递推序列的倒数部分和及无穷和取整,得到了此类序列及其子列、交错子列倒数和的恒等式.此外,本文首次对次数大于3时的倒数和进行了研究,给出了高阶线性递推序列高次幂的倒数和取整公式,从而彻底解决了Ohtsuka提出的关于高次幂倒数和研究的问题.3.研究了由Edson和Yayenie定义的非线性周期Fibonacci数列,得到了包含其子列及多项乘积高次幂的倒数和取整公式.首次将倒数和问题研究的对象从线性递推序列拓广到了非线性递推序列,4.研究了广义Tribonacci数列的二项变换序列,证明了其二项变换序列仍然是三阶线性递推序列,并得到了其递推关系.此外还给出了m阶线性递推序列的二项变换序列的递推关系的计算方法,从而推广并证明了Murthy和Ashbacher提出的一系列猜想.