棱有限元方法是对Maxwell方程组进行数值求解的一种基本离散化方法,由于该离散系统通常是大规模,且高度病态,因此构造其快速求解算法十分必要.另外由于许多Maxwell方程组存在强奇性,这时若采用一致加密网格进行计算,则会引起自由度的过度增长,自适应方法足克服该缺陷的有效途径,因此研究求解Maxwell方程组的自适应有限元方法具有重要意义.上述两方面的研究是当前计算电磁场中的热点,其中面临许多难点问题.本文比较系统地研究了求解两类典型Maxwell方程组棱有限元离散系统的快速算法和自适应棱有限元方法,主要内容如下.针对H(curl)椭圆方程组的高阶棱元离散系统,通过建立高阶棱有限元空间的稳定性分解,设计了相应的快速迭代法和高效预条件子,并且在理论上证明了新的迭代算法的收敛率和预条件子的条件数均不依赖于网格的规模.数值实验验证了新迭代法和预条件子的高效性和鲁棒性.针对时谐Maxwell方程组的高阶棱有限元方法,利用离散的Helmholtz分解,连续散度为零函数对离散散度为零函数的逼近性和对偶论证,获得了在L~2和H(curl)范数下的拟最优误差估计,进而得到了关于第二类Nedelec棱元的最优误差收敛阶.利用这些结果,我们设计和分析了求解时谐Maxwell方程组第二类Nedelec高阶棱元离散系统的两网格法,数值实验验证了理论的正确性和两网格算法的高效性.分别针对变系数H(curl)椭圆方程组和不定时谐Maxwell方程组,考虑了一种不需要标记振荡项和加密单元不需要满足“内节点”性质的自适应棱有限元法(AEFEM).首先证明了AEFEM在连续的迭代过程中,关于误差函数的范数与尺度化的误差指示子之和足压缩的,即AEFEM足收敛的.进一步,当初始网格和D(o|¨)rfler标记策略参数满足一定的假设条件时,利用AEFEM的收敛性、误差的整体下界和局部上界估计,证明了AEFEM的拟最优复杂性,其中关于不定时谐Maxwell方程组情形,我们还克服由于问题的不定性及旋度算子具有较大的核空间等因素所带来的困难.数值实验验证了自适应网格及相关的计算复杂度是拟最优的.