风险理论主要研究保险事务中的随机风险模型，是近代应用数学的一个重要分支，也是当前精算学界的热门课题.经典的风险理论主要通过概率论和随机过程理论来研究风险模型的盈余过程，并研究破产事件，破产概率，调节系数等问题.目前保险风险理论的研究是对古典风险模型的改造和推广，以使得更符合保险公司实际经营的模型.在保险数学里，破产理论是保险风险理论研究的重要问题，它可以为保险公司决策者提供一个早期的风险预警手段，因而对其研究具有重要的理论和现实意义.　　 近几年，越来越多的作者已经更多地去关注离散时间模型，比如Gerber etal(1987), Willmot(1993), Dickson(1994), Devylder(1996), Devylder andMarceau(1996), Cheng et al(2000),Li(2005).　　 本文包括以下几章第一章:介绍了风险理论的发展历程和现状，阐述了本课题研究的内容.　　 第二章:介绍了具有指数索赔的离散时间风险模型，并且在具有指数索赔的离散时间风险情况下，给出了Gerber-Sbiu折现罚金函数所满足的积分方程，通过分析和推导得到了Gerber-Shiu折现罚金函数的明确的有限表达式.　　 第三章:在具有常数分红壁的离散时间风险模型情况下，研究了Gerber-Shiu折现罚金函数，得到了Gerber-Shiu折现罚金函数所满足的积分方程，并且结合第二章的结论和线性方程的理论给出了Gerber-Shiu折现罚金函数的明确的有限表达式.