本文中,我们系统地研究了一类二维伪可积系统的量子混沌,伪可积系统即角为π有理数倍数的多边形,我们研究的是角为π有理数倍数的一类直角三角形,具体而言是我们研究了伪可积系统的相对论性与非相对论性量子能谱统计特性以及波函数特性。利用前人发展的边界积分方法,能够求得任意能级区间的薛定谔方程与狄拉克方程的本征值与本征函数。在方法上,可以利用边界积分求解薛定谔方程与相对论方程的波函数,利用该方法,能使GOE(Gaussian orthogonal ensemble)体系的漏根率在1%以内,GUE(Gaussian unitary ensemble)体系的漏根率在0.5%以内。此外,我们提出了计算任意多边形体系狄拉克方程,薛定谔方程的共形变换理论,大大推展了共形变换方法可以求解的系统范围。经典力学中,粒子在二维系统中运动的不变环面等价于一个多柄球,其柄的个数称为亏格,随着亏格增加,经典动力学系统中粒子的运动方向数目增加,系统的不稳定性增加。对应于量子体系,系统的能谱间距统计有从Poisson分布朝Winger分布变化的趋势。具体而言,薛定谔方程能谱朝GOE分布变化,狄拉克方程能谱统计朝GUE分布变化。对于伪可积非相对论量子体系,前人发现能谱统计分布依赖于系统亏格数以及所统计的能级区间的高低,即:随着亏格数增加,系统能谱统计分布从Poisson分布向GOE分布变化;系统只是小的偏离可积系统,其低能级能谱统计靠近Poisson分布,高能级区间的能谱统计分布趋向于GOE分布。我们的结果与前人基本一致,关于小亏格非相对论量子体系的能谱统计,我们发现随着亏格数从2到6增加的直角三角形体系,能谱统计有从Poisson分布向GOE分布变化的整体趋势,但是亏格数为5的系统,其平均的能谱统计偏离了这整体变化的趋势。对于亏格数为33的一系列角度连续变化的直角三角形,我们发现低能级区间的能谱统计依赖于系统偏离可积系统的程度,靠近可积系统,能谱统计靠近Poisson分布;远离可积系统,其能谱统计靠近GOE分布。此外,我们还研究了小角度偏离可积系统的(系统只是很小的偏离可积系统)非相对论体系的能谱间距统计。因为这类系统通常具有较大的亏格数,按之前人们的猜测,其能谱统计——至少在半经典情况下——应该是GOE。我们发现在低能区,其能谱统计很靠近Poisson分布,随着能级增加,会朝GOE分布变化,但是直到计算到前人不曾计算到的第512000个能级附近,这已经很接近半经典极限,能谱统计依然处于Poisson分布与GOE分布中间。对于伪可积相对论量子体系,我们发现在正的低能区,对于亏格数从2到6变化的直角三角形系统,其平均能谱间距统计随着亏格数的增加从GOE向GUE变化的趋势,但是亏格数为6的系统偏离了这种趋势。对于亏格数为33的一系列角度连续变化的直角三角形,其能谱间距统计依赖于系统偏离可积系统的程度,即系统靠近可积系统,其能谱统计分布靠近Poisson分布;系统远离可积系统,其能谱统计分布靠近GUE分布。